[论文解读] A Characterization of Efficiently Compilable Constraint Languages

Christoph Berkholz, Stefan Mengel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2023

Formal Methods in Verification参考文献 24被引用 1

一句话总结

本文對可高效編譯為多項式規模知識編譯格式（如 DNNF 和結構化 DNNF）的約束語言提供了完整的特徵描述。它引入了強塊分解性（strong blockwise decomposability）的概念，作為多項式規模編譯的必要且充分條件，並提出可判定的判別標準與緊緻的無條件下界，適用於無法編譯的語言。

ABSTRACT

A central task in knowledge compilation is to compile a CNF-SAT instance into a succinct representation format that allows efficient operations such as testing satisfiability, counting, or enumerating all solutions. Useful representation formats studied in this area range from ordered binary decision diagrams (OBDDs) to circuits in decomposable negation normal form (DNNFs). While it is known that there exist CNF formulas that require exponential size representations, the situation is less well studied for other types of constraints than Boolean disjunctive clauses. The constraint satisfaction problem (CSP) is a powerful framework that generalizes CNF-SAT by allowing arbitrary sets of constraints over any finite domain. The main goal of our work is to understand for which type of constraints (also called the constraint language) it is possible to efficiently compute representations of polynomial size. We answer this question completely and prove two tight characterizations of efficiently compilable constraint languages, depending on whether target format is structured. We first identify the combinatorial property of "strong blockwise decomposability" and show that if a constraint language has this property, we can compute DNNF representations of linear size. For all other constraint languages we construct families of CSP-instances that provably require DNNFs of exponential size. For a subclass of "strong uniformly blockwise decomposable" constraint languages we obtain a similar dichotomy for structured DNNFs. In fact, strong (uniform) blockwise decomposability even allows efficient compilation into multi-valued analogs of OBDDs and FBDDs, respectively. Thus, we get complete characterizations for all knowledge compilation classes between O(B)DDs and DNNFs.

研究动机与目标

• 識別在給定約束語言上，約束 satisfiability 問題（CSP）可編譯為多項式規模知識編譯格式的精確組合條件。
• 釐清將 CSP 編譯為結構化與非結構化 DNNF 表示的複雜度圖景，區分出可支持多項式規模結構化表示的語言與不可行的語言。
• 提供強塊分解性與強一致塊分解性的可判定標準，解決會議版本中的一個開放問題。
• 為非可編譯約束語言上的 CSP 的 DNNF 表示建立無條件大小下界，且不依賴複雜度理論假設。

提出的方法

• 引入強塊分解性作為約束語言的一種組合性質，定義於關係的二元投影的塊結構之上。
• 證明若一約束語言具備強塊分解性，則其所有 CSP 實例均可在多項式時間內產生線性規模的 DNNF 表示。
• 利用基於矩陣的關係分解性特徵描述，以判斷一約束語言是否滿足強塊分解性條件。
• 應用一種基於變數互動圖表示中連通分量的新穎分解論證，以證明解集的可分解性。
• 構造明確的 CSP 實例家族，當約束語言缺乏強塊分解性時，其 DNNF 表示需指數規模。
• 將分析延伸至結構化 DNNF，引入強一致塊分解性，以確保多項式規模的 ODD 表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些約束語言可對所有 CSP 實例產生多項式規模的 DNNF 表示？
• RQ2 在知識編譯的脈絡下，區分可 tractable 與不可 tractable 約束語言的精確組合條件為何？
• RQ3 可編譯至結構化 DNNF（如 ODD）與僅可編譯至非結構化 DNNF 的語言之間的差異，能否被特徵描述並可判定？
• RQ4 是否存在強（一致）塊分解性的可判定標準？該標準能否用於約束語言的分類？

主要发现

• 約束語言 Γ 當且僅當 Π₂(Γ) 中的所有二元投影均為塊分解性（即矩形）且任意兩關係無衝突的塊結構時，才具備強塊分解性。
• 對於任何具備強塊分解性的約束語言，其所有 CSP 實例均可在多項式時間內編譯為線性規模的 DNNF 表示。
• 對於不具備強塊分解性的約束語言，存在 CSP 實例家族，其 DNNF 表示需指數規模。
• 存在具備強塊分解性但不具備強一致塊分解性的約束語言，表示其可產生多項式規模的 FDD，但需指數規模的 ODD。
• 本文提供強塊分解性的可判定標準，解決了會議版本中的開放問題。
• 所有下界均為無條件的，不依賴未證實的複雜度假設，使結果更具魯棒性與廣泛適用性。