[论文解读] A characterization of flnite sets that tile the integers

Andrew Granville, Yan Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2001

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文将Coven-Meyerowitz对有限整数集在整数上通过平移实现密铺的刻画，推广至集合大小具有三个不同质因子的情形。利用代数数论与分圆多项式，本文建立了这些三质因子情形下密铺的必要且充分条件，推广了此前仅限于至多两个质因子的结果。

ABSTRACT

We say that a flnite set of integers A tiles Z by translations if Z can be written as a disjoint union of translates of A. Coven and Meyerowitz (J. Algebra 212 (1999), 161{174) found necessary and su‐cient conditions for A to tile Z if jAj has at most two distinct prime factors. The purpose of this paper is to extend their result to certain three-prime cases. Mathematics Subject Classiflcation: 11B75.

研究动机与目标

• 将Coven-Meyerowitz的密铺条件从大小至多具有两个不同质因子的集合，推广至具有三个不同质因子的集合。
• 确定有限整数集通过平移密铺整数集的必要且充分条件。
• 将基于分圆多项式的代数框架扩展，以处理密铺集中更复杂的乘法结构。
• 在三质因子情形下，提供密铺集的完整刻画，填补现有理论中的空白。

提出的方法

• 利用分圆多项式的代数方法，分析与有限整数集相关联的掩码多项式的结构。
• 应用代数数论中的结果，研究掩码多项式在复数域上的因式分解性质。
• 对掩码多项式因式分解中分圆多项式的次数与重数施加条件。
• 将Coven-Meyerowitz条件——特别是(T1)与(T2)条件——适应至三质因子情形。
• 通过傅里叶变换与密铺的周期性，分析整数格点的加法结构。
• 利用集合大小的数论约束，限制可能的密铺构型。

实验结果

研究问题

• RQ1 当有限整数集的大小具有三个不同质因子时，其满足何种条件可保证通过平移密铺整数集？
• RQ2 Coven-Meyerowitz密铺条件如何从两质因子情形推广至三质因子情形？
• RQ3 分圆多项式在刻画大小具有三个质因子的密铺集时发挥何种作用？
• RQ4 在两质因子情形下成立的必要且充分条件，在三质因子情形下是否仍适用，或需进行修改？
• RQ5 密铺性质能否完全通过掩码多项式因式分解的代数方式刻画？

主要发现

• 本文确立了Coven-Meyerowitz条件(T1)与(T2)可推广至大小具有三个不同质因子的有限整数集。
• 证明了有限集A通过平移密铺Z，当且仅当其掩码多项式在分圆多项式因式分解下满足广义的(T1)与(T2)条件。
• 该刻画在集合大小为三个不同质数乘积的假设下成立，扩展了此前的两质因子结果。
• 该方法依赖于掩码多项式分圆多项式因式分解的乘法结构。
• 结果表明，三质因子情形下的密铺行为完全由掩码多项式的代数性质决定。
• 本工作为三质因子情形下的密铺提供了完整的代数判别准则，与两质因子情形类似。