[论文解读] A characterization of general position sets in graphs

Bijo S. Anand, Ullas Chandran S.V.+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文通过证明顶点子集 S 是一般位置集当且仅当其导出子图由构成 S 的非传递性、等距划分的完全子图组成，对图中的一般位置集进行了表征。主要贡献在于为 cographs 提供了计算一般位置数的多项式时间算法，并为二分图的补图（包括树、网格和超立方体）推导出精确公式。

ABSTRACT

A vertex subset $S$ of a graph $G$ is a general position set of $G$ if no vertex of $S$ lies on a geodesic between two other vertices of $S$. The cardinality of a largest general position set of $G$ is the general position number ${ m gp}(G)$ of $G$. It is proved that $S\subseteq V(G)$ is a general position set if and only if the components of $G[S]$ are complete subgraphs, the vertices of which form an in-transitive, distance-constant partition of $S$. If ${ m diam}(G) = 2$, then ${ m gp}(G)$ is the maximum of the clique number of $G$ and the maximum order of an induced complete multipartite subgraph of the complement of $G$. As a consequence, ${ m gp}(G)$ of a cograph $G$ can be determined in polynomial time. If $G$ is bipartite, then ${ m gp}(G) \leq \alpha(G)$ with equality if ${ m diam}(G) \in \{2,3\}$. A formula for the general position number of the complement of a bipartite graph is deduced and simplified for the complements of trees, of grids, and of hypercubes.

研究动机与目标

• 通过图的结构性质表征图中的一般位置集。
• 确定各类图的广义位置数 gp(G)，特别是 cographs 和二分图的补图。
• 建立在二分图中 gp(G) 等于独立数 α(G) 的条件。
• 为特定二分图（如树、网格和超立方体）的补图的一般位置数推导精确公式。

提出的方法

• 若 S 中的任意顶点都不位于 S 中另两个顶点之间的测地线上，则定义 S 为一般位置集。
• 本文证明：S 是一般位置集当且仅当 G[S] 的连通分量为完全子图，且构成 S 的非传递性、等距划分。
• 对于直径为 2 的图，证明了一般位置数 gp(G) 等于图的团数 ω(G) 与补图 G̅ 中诱导完全多部子图的最大阶数的较大值。
• 通过利用 cographs 的结构分解及其上述表征，建立了计算 gp(G) 的多项式时间算法。
• 推导出当 G 为二分图时 gp(G̅) 的公式，并进一步简化为树、网格和超立方体等特殊情况。
• 利用该表征证明：在二分图中 gp(G) ≤ α(G)，且当 diam(G) ∈ {2,3} 时等号成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图 G 中，何时一个顶点子集 S 是一般位置集，其必须满足何种结构性质？
• RQ2 cographs 的一般位置数 gp(G) 是多少，能否在多项式时间内计算？
• RQ3 在二分图中，gp(G) 何时等于独立数 α(G)？
• RQ4 二分图 G 的补图 G̅ 的一般位置数 gp(G̅) 的精确值是多少，其在树、网格和超立方体等情况下如何简化？

主要发现

• 在图 G 中，顶点子集 S 是一般位置集当且仅当导出子图 G[S] 由构成 S 的非传递性、等距划分的完全子图组成。
• 对于直径为 2 的图，一般位置数 gp(G) 等于团数 ω(G) 与补图 G̅ 中诱导完全多部子图最大阶数的较大值。
• 由于 cograph 的结构性质及其一般位置集的表征，其一般位置数 gp(G) 可在多项式时间内计算。
• 对于二分图，有 gp(G) ≤ α(G)，且当图的直径为 2 或 3 时等号成立。
• 为二分图 G 的补图 G̅ 推导出 gp(G̅) 的公式，且在树、网格和超立方体等情况下该公式显著简化。
• 利用推导出的公式，可精确计算树、网格或超立方体的补图的一般位置数。