[论文解读] A characterization of higher rank symmetric spaces via bounded cohomology

Mladen Bestvina, Koji Fujiwara|ArXiv.org|Feb 9, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文通过有界上同调刻画了高阶对称空间：一个完备、有限体积、非正曲率的流形，其万有覆叠是高阶对称空间，当且仅当从有界上同调到普通上同调的映射的核为零。证明利用了在具有1阶等距变换的CAT(0)空间上作用的群的新构造方法，即无限维拟同态，借助了阶刚性定理和WPD条件。

ABSTRACT

Let $M$ be complete nonpositively curved Riemannian manifold of finite volume whose fundamental group $Γ$ does not contain a finite index subgroup which is a product of infinite groups. We show that the universal cover $ ilde M$ is a higher rank symmetric space iff $H^2_b(M;\R) o H^2(M;\R)$ is injective (and otherwise the kernel is infinite-dimensional). This is the converse of a theorem of Burger-Monod. The proof uses the celebrated Rank Rigidity Theorem, as well as a new construction of quasi-homomorphisms on groups that act on CAT(0) spaces and contain rank 1 elements.

研究动机与目标

• 建立对Burger-Monod定理在半单李群中不可约格点的有界上同调消失的逆定理。
• 利用有界上同调，刻画有限体积、非正曲率流形中的高阶对称空间。
• 为在具有1阶等距变换的CAT(0)空间上作用的群，发展一种构造无限维拟同态空间的新方法。
• 应用阶刚性定理，基于上同调性质分类万有覆叠的几何结构。
• 证明有界上同调映射的核消失恰好对应于万有覆叠是高阶对称空间。

提出的方法

• 定义模同态与有界函数的齐次拟同态空间，将其识别为从有界上同调到普通上同调的映射的核。
• 利用群在CAT(0)空间上作用的WPD（弱适当不连续）条件，确保1阶等距变换的存在。
• 利用Teichmüller空间中双曲三角形与曲率估计，构造具有1阶等距变换的群上的无限维拟同态。
• 应用Gauss-Bonnet定理与曲率估计，控制测地轴邻域内面积与长度，证明投影有界性。
• 利用阶刚性定理，排除万有覆叠中的可约或欧氏因子，从而归约为对称空间或1阶等距变换。
• 利用稳定交换子长度消失当且仅当有界上同调映射的核消失的事实，与Bavard定理建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界上同调映射的核消失是否能刻画有限体积、非正曲率流形中的高阶对称空间？
• RQ2 在何种群论与几何条件下，拟同态空间保持无限维？
• RQ3 如何利用有界上同调区分高阶对称空间与其他非正曲率流形？
• RQ4 1阶等距变换与WPD条件在拟同态空间结构中起何种作用？
• RQ5 在何种程度上可利用几何群论工具，将Burger-Monod消失结果逆向推广？

主要发现

• 有限体积、非正曲率流形的万有覆叠是高阶对称空间，当且仅当从有界上同调到普通第二上同调的映射的核为零。
• 若基本群不含有限指数的无限群的乘积，且不含几乎循环子群，则核为零当且仅当万有覆叠是高阶对称空间。
• 对于在CAT(0)空间上作用且具有1阶等距变换并满足WPD条件的群，其拟同态空间是无限维的。
• Teichmüller空间在Weil-Petersson度量下，映射类群的作用满足WPD条件，从而可应用主定理。
• 在Teichmüller空间中，任何与测地轴不相交的球的投影具有统一有界直径，这是验证WPD的关键技术结果。
• Teichmüller空间中测地轴邻域的曲率估计可导出面积与长度估计，从而推出投影有界，支持WPD条件。