[论文解读] A characterization of $L_{2}$ mixing and hypercontractivity via hitting times and maximal inequalities

Jonathan Hermon, Yuval Peres|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 16被引用 31

一句话总结

本文通过首达时间与最大不等式，对有限可逆马尔可夫链中的 $L_2$ 混合时间 ($\tau_2$) 和相对熵混合时间 ($\tau_{\mathrm{Ent}}$) 提供了概率表征。研究证明，$\tau_2$ 和 $\tau_{\mathrm{Ent}}$ 分别被基于首达时间的参数 $\rho$ 和 $\rho_{\mathrm{Ent}}$ 以常数因子有界，并引入了对对数索博列夫常数的一种新极值表征——作为加权谱间隙，从而为超收缩性提供了概率解释。

ABSTRACT

There are several works characterizing the total-variation mixing time of a reversible Markov chain in term of natural probabilistic concepts such as stopping times and hitting times. In contrast, there is no known analog for the $L_{2}$ mixing time, $τ_{2}$ (while there are sophisticated analytic tools to bound $ τ_2$, in general they do not determine $τ_2$ up to a constant factor and they lack a probabilistic interpretation). In this work we show that $τ_2$ can be characterized up to a constant factor using hitting times distributions. We also derive a new extremal characterization of the Log-Sobolev constant, $c_{\mathrm{LS}}$, as a weighted version of the spectral gap. This characterization yields a probabilistic interpretation of $c_{\mathrm{LS}}$ in terms of a hitting time version of hypercontractivity. As applications of our results, we show that (1) for every reversible Markov chain, $τ_2$ is robust under addition of self-loops with bounded weights, and (2) for weighted nearest neighbor random walks on trees, $τ_2 $ is robust under bounded perturbations of the edge weights.

研究动机与目标

• 为有限可逆马尔可夫链中的 $L_2$ 混合时间 ($\tau_2$) 提供一种概率表征，该表征在先前工作中缺乏自然的概率解释。
• 通过首达时间分布，将此表征扩展至相对熵混合时间 ($\tau_{\mathrm{Ent}}$)。
• 引入对对数索博列夫常数 ($c_{\mathrm{LS}}$) 的新极值表征，将其视为谱间隙的加权版本，从而实现对超收缩性的概率解释。
• 建立 $\tau_2$ 在有界扰动下的鲁棒性，例如在树结构上添加自环或扰动边权。
• 通过关于极值不等式的猜想，回答关于 $c_{\mathrm{MLS}}$ 与 $\tau_{\mathrm{Ent}}$ 关系的开放问题。

提出的方法

• 定义 $\rho_x$ 和 $\rho_{\mathrm{Ent},x}$ 分别为最小时间 $t$，使得在时间 $t$ 内未逃逸任意满足 $\pi(A) \leq 1/2$ 的连通集合 $A$ 的概率，分别有界于 $\pi(A) + \frac{1}{2}\sqrt{\pi(A)\pi(A^c)}$ 和 $\min\left(\frac{C_{\mathrm{Ent}}}{|\log \pi(A)|}, \frac{99}{100}\right)$。
• 利用最大不等式和首达时间的指数矩界，控制小集合逃逸时间的尾概率。
• 应用卡克斯公式及指数分布的随机控制，以有界首达时间的拉普拉斯变换。
• 通过加权极值公式，建立对数索博列夫常数与谱间隙之间的联系，揭示超收缩性的概率解释。
• 证明 $\tau_2$ 在添加有界权重自环时具有鲁棒性，且在树上加权最近邻随机游走中，边权的有界扰动亦保持 $\tau_2$ 的稳定性。
• 利用路径分解及路径上首达时间增量的独立性，推导 $T_{x_{\delta}}$ 的尾部界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限可逆马尔可夫链中，通过首达时间分布以常数因子表征 $\tau_2$？
• RQ2 是否存在一种基于首达时间的概率解释，使对数索博列夫常数 $c_{\mathrm{LS}}$ 的行为类似于谱间隙与混合时间的关系？
• RQ3 在添加自环或改变边权等有界扰动下，$L_2$ 混合时间 $\tau_2$ 是否保持稳定？
• RQ4 相对熵混合时间 $\tau_{\mathrm{Ent}}$ 是否也能通过基于首达时间的参数 $\rho_{\mathrm{Ent}}$ 进行类似表征？
• RQ5 是否存在一个绝对常数 $C$，使得 $1/c_{\mathrm{MLS}} \leq C \tau_{\mathrm{Ent}}$ 或 $1/c_{\mathrm{MLS}} \leq C \rho_{\mathrm{Ent}}$？

主要发现

• $L_2$ 混合时间 $\tau_2$ 满足 $\rho \leq \tau_2 \leq C_2 \rho$，其中 $C_1, C_2$ 为绝对常数，$\rho$ 由小连通集上的首达时间尾部界定义。
• 相对熵混合时间 $\tau_{\mathrm{Ent}}$ 满足 $\rho_{\mathrm{Ent}} \leq \tau_{\mathrm{Ent}} \leq C_3 \rho_{\mathrm{Ent}}$，其中 $C_3$ 为绝对常数，确立了基于首达时间的表征。
• 对数索博列夫常数 $c_{\mathrm{LS}}$ 获得一种新的极值表征：作为谱间隙的加权版本，从而直接关联至 $\tau_2$，并实现对超收缩性的概率解释。
• $L_2$ 混合时间 $\tau_2$ 在添加有界权重自环时具有鲁棒性，即 $\tau_2$ 的变化不超过常数因子。
• 对于树上加权最近邻随机游走，$\tau_2$ 在边权有界扰动下保持鲁棒，混合时间仅改变常数因子。
• 本文通过首达时间提供了对超收缩性的概率解释，表明对数索博列夫常数控制小集合中首达时间尾部的衰减速率。