[论文解读] A characterization of martingale-equivalent compound mixed Poisson process

Demetrios P. Lyberopoulos, N. D. Macheras|arXiv (Cornell University)|May 18, 2019

Probability and Risk Models参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文表征了所有在其中复合混合泊松过程（CMPP）在概率测度 $ P $ 下的复合混合泊松过程在渐进等价测度 $ Q $ 下仍保持为具有改进性质的 CMPP 的概率测度 $ Q $，推广了 Delbaen & Haezendonck（1989）的结果。关键结果，定理 4.3，通过正则条件概率和 Radon-Nikodým 导数提供了表征，使该理论在精算定价和无消失风险自由套利（NFLVR）市场中具有应用价值。

ABSTRACT

If a given aggregate process $S$ is a compound mixed Poisson process under a probability measure $P$, a characterization of all probability measures $Q$ on the domain of $P$, such that $P$ and $Q$ are progressively equivalent and $S$ remains a compound mixed Poisson process with improved properties, is provided. This result generalizes earlier work of Delbaen & Haezendonck (1989). Implications related to the computation of premium calculation principles in an insurance market possessing the property of no free lunch with vanishing risk are also discussed.

研究动机与目标

• 将 Delbaen & Haezendonck（1989）对复合泊松过程的局部鞅等价测度表征推广至更广泛的复合混合泊松过程（CMPP）类。
• 通过正则条件概率，建立在概率测度 $ P $ 下的 CMPP 在渐进等价测度 $ Q $ 下仍保持为 CMPP 的条件。
• 为满足无自由套利与消失风险（NFLVR）条件的保险市场中的保费计算原则提供一个计算框架。
• 将局部鞅等价测度理论的应用扩展至涉及随机强度和随机索赔额分布的非经典风险理论情境。

提出的方法

• 利用正则条件概率表征 CMPP，通过分解测度将其简化为在分解测度下的普通复合泊松过程。
• 推导 $ Q $ 相对于 $ P $ 的 Radon-Nikodým 导数，从而实现渐进等价测度的构造。
• 应用命题 3.4，以底层 CMPP 结构表征 $ Q $-局部鞅的密度过程。
• 利用定理 4.3 识别所有在渐进等价下保持 CMPP 性质的测度 $ Q $。
• 将结果应用于构造一大类诱导渐进等价局部鞅测度（PEMMs）的规范扩散过程。
• 通过定理 5.3 建立 NFLVR 条件，确保所构建市场模型中不存在套利机会。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ P $-CMPP 在渐进等价测度 $ Q $ 下仍为 CMPP？
• RQ2 如何通过 CMPP 的正则条件概率表征 $ Q $ 相对于 $ P $ 的 Radon-Nikodým 导数？
• RQ3 哪类随机过程可诱导保持 CMPP 结构的渐进等价局部鞅测度？
• RQ4 测度变换如何影响 CMPP 框架下的期望索赔次数与索赔额？
• RQ5 在 $ Q $ 下保持 CMPP 性质对满足 NFLVR 条件的市场中的保费计算原则有何影响？

主要发现

• 定理 4.3 完整表征了所有满足 $ P $-CMPP 在 $ Q $ 下仍为 CMPP 的渐进等价测度 $ Q $，推广了 Delbaen & Haezendonck（1989）的结果。
• $ Q $ 相对于 $ P $ 的 Radon-Nikodým 导数完全由索赔次数与索赔额过程的正则条件分布决定。
• 在例 6.2 中，测度变换同时增加了期望索赔次数与期望索赔额，其中 $ p(Q) = 810 $，$ p(P) = 5 $，当 $ \theta > 1/2 $ 时满足条件 (13)。
• 在例 6.3 中，$ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[X_1] = 2 $，且 $ \mathbb{E}_{Q}[N_1] = (c+1)^2 J(c) $，其中 $ J(c) \in (0,\infty) $，确保 $ p(Q) < \infty $，且在 $ \theta $ 的二次不等式下条件 (14) 成立。
• 过程 $ V_t(\varTheta) = S_t - 10t\varTheta^2 $ 在定理 5.3 下满足 NFLVR 条件，确认所构建市场中无套利机会。
• 推论 4.6 中构造的对 $ (g, Q) $ 确保 $ Q_{\theta} $ 为正规复合泊松过程，且满足 $ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[N_1] = g(\theta) $，$ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[X_1] = 2 $，验证了在 $ Q $ 下的 CMPP 结构。