[论文解读] A Characterization of Metric Projection in CAT(0) Spaces

Hossein Dehghan, Jamal Rooin|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2013

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用 30

一句话总结

本文通过拟线性化方法对CAT(0)空间中的度量投影进行了表征，证明了点 $ u \in C $ 是点 $ x \in X $ 在闭凸子集 $ C $ 上的度量投影当且仅当对所有 $ y \in C $，有 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $。主要贡献在于以拟线性配对形式给出了一个变分不等式条件，将希尔伯特空间中投影的性质推广到了非正曲率度量空间。

ABSTRACT

In this paper, we present a characterization of metric projection in CAT(0) spaces by using the concept of quasilinearization. Furthermore, some basic properties of matric projection are investigated.

研究动机与目标

• 通过拟线性化方法表征CAT(0)空间中的度量投影，将希尔伯特空间中的已知结果加以推广。
• 建立某点成为给定点在闭凸子集上度量投影的必要与充分条件。
• 研究度量投影的边界行为，表明投影位于集合的边界上。
• 证明在哈达姆空间中，度量投影算子是 firmly 非扩张的、单调的且非扩张的。

提出的方法

• 使用拟线性化映射 $ \langle \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{cd} \rangle = \frac{1}{2}(d^2(a,d) + d^2(b,c) - d^2(a,c) - d^2(b,d)) $ 作为非内积空间中内积的替代品。
• 在CAT(0)空间中应用柯西-施瓦茨不等式，该不等式成立当且仅当空间是CAT(0)空间，以推导变分不等式。
• 应用测地线凸性不等式 (1.3)：$ d^2(\lambda x \oplus (1-\lambda)y, z) \leq \lambda d^2(x,z) + (1-\lambda)d^2(y,z) - \lambda(1-\lambda)d^2(x,y) $ 来分析度量投影。
• 使用向量记号 $ \overrightarrow{xy} $ 表示有向线段，并推导出关于 $ \langle \overrightarrow{zy}, \overrightarrow{zw} \rangle \leq \lambda \langle \overrightarrow{xy}, \overrightarrow{zw} \rangle $ 的不等式，其中点位于测地线上。
• 在极限 $ \lambda \to 0^+ $ 下应用连续性论证，推导出投影的最终变分不等式。
• 利用完备CAT(0)空间即为哈达姆空间的事实，证明度量投影是 firmly 非扩张的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在CAT(0)空间中，点 $ u \in C $ 成为点 $ x \in X $ 的度量投影的必要与充分条件是什么？
• RQ2 在缺乏内积的情况下，如何通过拟线性化表征CAT(0)空间中的度量投影概念？
• RQ3 点在闭凸子集上的度量投影位于集合内部还是边界上？
• RQ4 哈达姆空间中的度量投影算子是否是 firmly 非扩张的？这对不动点理论有何影响？

主要发现

• 当且仅当对所有 $ y \in C $，有 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $ 时，度量投影 $ u = P_C x $ 成立，这在CAT(0)空间中提供了变分表征。
• 度量投影 $ P_C x $ 始终位于集合 $ C $ 的边界 $ \partial C $ 上，这意味着它不能是内点，除非空间是退化的。
• 在哈达姆空间中，度量投影算子 $ P_C: X \to C $ 是 firmly 非扩张的，对所有 $ x, y \in X $ 满足 $ \langle \overrightarrow{xy}, \overrightarrow{P_C x P_C y} \rangle \geq d^2(P_C x, P_C y) $。
• 由于是 firmly 非扩张的，度量投影同时也是单调的和非扩张的。
• 证明依赖于拟线性化框架和测地线凸性不等式 (1.3)，后者表征了CAT(0)空间。
• 该结果将希尔伯特空间中度量投影的表征推广到了非正曲率度量空间，为这些空间中的优化与不动点理论提供了工具。