[论文解读] A characterization of the capacity of online (causal) binary channels

Zitan Chen, Sidharth Jaggi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Wireless Communication Security Techniques参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在比特翻转和删除错误模型下，对二元在线（因果）信道的容量给出了紧致的刻画，其中对手仅根据先前传输的比特来决定是否篡改每个比特。作者提出了一种新颖的编码方案，实现了此前推测的上界，证明了当 $ p \leq 1/4 $ 时容量为 $ C^{flip}_p = \min_{\bar{p} \in [0,p]} \left[ (1 - 4(p - \bar{p})) \left(1 - H\left(\frac{\bar{p}}{1 - 4(p - \bar{p})}\right)\right) \right] $，当 $ p \leq 1/2 $ 时容量为 $ C^{erase}_p = 1 - 2p $，超过这些阈值后容量为零。

ABSTRACT

In the binary online (or "causal") channel coding model, a sender wishes to communicate a message to a receiver by transmitting a codeword $\mathbf{x} =(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$ bit by bit via a channel limited to at most $pn$ corruptions. The channel is "online" in the sense that at the $i$th step of communication the channel decides whether to corrupt the $i$th bit or not based on its view so far, i.e., its decision depends only on the transmitted bits $(x_1,\ldots,x_i)$. This is in contrast to the classical adversarial channel in which the error is chosen by a channel that has a full knowledge on the sent codeword $\mathbf{x}$. In this work we study the capacity of binary online channels for two corruption models: the {\em bit-flip} model in which the channel may flip at most $pn$ of the bits of the transmitted codeword, and the {\em erasure} model in which the channel may erase at most $pn$ bits of the transmitted codeword. Specifically, for both error models we give a full characterization of the capacity as a function of $p$. The online channel (in both the bit-flip and erasure case) has seen a number of recent studies which present both upper and lower bounds on its capacity. In this work, we present and analyze a coding scheme that improves on the previously suggested lower bounds and matches the previously suggested upper bounds thus implying a tight characterization.

研究动机与目标

• 解决二元因果（在线）信道在对抗性比特翻转和删除模型下精确容量表征的开放问题。
• 通过构造一种可实现上界的编码方案，弥合因果信道容量已知上界与下界之间的差距。
• 分析对手具有有限前瞻能力时容量的鲁棒性，表明即使前瞻能力较弱，容量也仅发生微小下降。
• 使用具有列表译码和秘密共享的结构化编码方案，提供容量表达式的严格可实现性证明。

提出的方法

• 提出一种新颖的编码方案，将码字划分为左、右两大子码字，采用两阶段译码过程。
• 利用带有随机秘密的秘密共享机制构造右大子码字，确保对对手选择的鲁棒性。
• 在右子码字中应用列表译码，其中列表大小有界，且正确消息能以高概率被恢复。
• 在指定译码点 $ t^* $ 定义一致性检查，确保在随机秘密下以高概率选择正确消息。
• 使用概率分析界定失败概率，表明译码成功的概率至少为 $ 1 - 2^{-n\theta^3/32} $。
• 证明即使对手具有 $ n\epsilon $-前瞻能力，容量也仅被小幅降低，表明对有限前瞻能力具有鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为错误比例 $ p $ 的函数，二元因果比特翻转信道的精确容量是多少？
• RQ2 作为删除比例 $ p $ 的函数，二元因果删除信道的精确容量是多少？
• RQ3 能否构造一种编码方案，使其可实现因果信道容量的已知上界？
• RQ4 若对手具有有限前瞻能力（例如 $ n\epsilon $），因果信道的容量将如何变化？

主要发现

• 二元因果比特翻转信道的容量为 $ C^{flip}_p = \min_{\bar{p} \in [0,p]} \left[ (1 - 4(p - \bar{p})) \left(1 - H\left(\frac{\bar{p}}{1 - 4(p - \bar{p})}\right)\right) \right] $，当 $ p \leq 1/4 $ 时成立，当 $ p \geq 1/4 $ 时容量为零。
• 二元因果删除信道的容量为 $ C^{erase}_p = 1 - 2p $，当 $ p \leq 1/2 $ 时成立，当 $ p \geq 1/2 $ 时容量为零。
• 所提出的编码方案实现了已知上界，从而证明了容量表达式的紧致性。
• 该方案确保译码成功的概率至少为 $ 1 - 2^{-n\theta^3/32} $，随着 $ n $ 增大，该概率趋近于 1。
• 即使具有 $ n\epsilon $-前瞻能力，容量也仅被连续函数 $ f(\epsilon) $ 所降低，表明对有限前瞻能力具有鲁棒性。
• 分析结果表明，容量在小范围前瞻下保持不变，意味着因果模型在轻微偏离严格因果性时仍具稳定性。