[论文解读] A characterization of Tychonoff spaces with applications to paratopological groups

Тарас Банах, Alex Ravsky|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Advanced Topology and Set Theory被引用 3

一句话总结

本文通过正规准一致性刻画Tychonoff空间，证明了半正规空间是完全正则的充分必要条件是其拓扑由正规准一致性生成。该研究解决了拓扑群理论中长期悬而未决的问题，表明每个正则的拟拓扑群都是完全正则的，并确立了每个Hausdorff拟拓扑群均可通过自然的一致化构造实现函数Hausdorff性与可度量化性。

ABSTRACT

We prove that a semiregular topological space $X$ is completely regular if and only if its topology is generated by a normal quasi-uniformity. This characterization implies that each regular paratopological group is completely regular. This resolves an old problem in the theory of paratopological groups, which stood open for about 60 years. Also we define a natural uniformity on each paratopological group and using this uniformity prove that each (first countable) Hausdorff paratopological group is functionally Hausdorff (and submetrizable). This resolves another two known open problems in the theory of paratopological groups.

研究动机与目标

• 使用正规准一致性刻画Tychonoff空间。
• 解决一个长期悬而未决的问题：每个正则拟拓扑群是否都是完全正则的？
• 确立每个Hausdorff拟拓扑群都是函数Hausdorff且可度量化的。
• 在拟拓扑群上定义一种自然的一致化结构，以促进其拓扑性质的分析。

提出的方法

• 证明半正规拓扑空间是完全正则的充分必要条件是其拓扑由正规准一致性生成。
• 利用该刻画推导出每个正则拟拓扑群都是完全正则的。
• 利用群运算与拓扑结构在每个拟拓扑群上定义一个典范准一致性。
• 应用该一致化结构的性质，证明每个Hausdorff拟拓扑群都是函数Hausdorff的。
• 利用一致化结构建立第一可数Hausdorff拟拓扑群的可度量化性。
• 利用半正规性、正规准一致性与完全正则性之间的相互作用，推导出拓扑性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半正规拓扑空间是完全正则的？
• RQ2 每个正则拟拓扑群是否都是完全正则的？
• RQ3 是否可以为每个拟拓扑群定义一种自然的一致化结构以分析其拓扑性质？
• RQ4 每个Hausdorff拟拓扑群是否都是函数Hausdorff的？
• RQ5 每个第一可数Hausdorff拟拓扑群是否都是可度量化的？

主要发现

• 半正规拓扑空间是完全正则的充分必要条件是其拓扑由正规准一致性生成。
• 每个正则拟拓扑群都是完全正则的，解决了长达60年的悬而未决问题。
• 每个Hausdorff拟拓扑群均可通过典范准一致性构造实现函数Hausdorff性。
• 每个第一可数Hausdorff拟拓扑群都是可度量化的。
• 拟拓扑群上的自然准一致性在Hausdorff与第一可数条件下可保证函数Hausdorff性与可度量化性。
• 通过正规准一致性进行刻画，为分析拓扑空间中的完全正则性提供了新工具。