[论文解读] A Chebyshev-based rectangular-polar integral solver for scattering by general geometries described by non-overlapping patches

Oscar P. Bruno, Emmanuel Garza|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 19被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种基于切比雪夫配置和费杰积分的高阶精度矩形极坐标积分求解器，用于求解由非重叠的逻辑四边形区域描述的一般几何体的声散射问题。通过结合随表面变化的矩形极坐标变换、预先计算的奇异积分以及切比雪夫展开，该方法仅需每个波长几个点即可实现谱精度，从而实现对开放与闭合表面（包括复杂的CAD生成几何体）的鲁棒、快速且高精度的求解。

ABSTRACT

This paper introduces a high-order-accurate strategy for integration of singular kernels and edge-singular integral densities that appear in the context of boundary integral equation formulations of the problem of acoustic scattering. In particular, the proposed method is designed for use in conjunction with geometry descriptions given by a set of arbitrary non-overlapping logically-quadrilateral patches---which makes the algorithm particularly well suited for treatment of CAD-generated geometries. Fejér's first quadrature rule is incorporated in the algorithm, to provide a spectrally accurate method for evaluation of contributions from far integration regions, while highly-accurate precomputations of singular and near-singular integrals over certain "surface patches" together with two-dimensional Chebyshev transforms and suitable surface-varying "rectangular-polar" changes of variables, are used to obtain the contributions for singular and near-singular interactions. The overall integration method is then used in conjunction with the linear-algebra solver GMRES to produce solutions for sound-soft open- and closed-surface scattering obstacles, including an application to an aircraft described by means of a CAD representation. The approach is robust, fast, and highly accurate: use of a few points per wavelength suffices for the algorithm to produce far-field accuracies of a fraction of a percent, and slight increases in the discretization densities give rise to significant accuracy improvements.

研究动机与目标

• 开发一种用于边界积分方程声散射公式中出现的奇异核与近奇异核的高阶精度积分方法。
• 实现对由非重叠的逻辑四边形区域描述的复杂几何体的高效且精确求解，此类几何体常见于CAD表示。
• 在每个波长仅使用极少的离散化点的前提下，实现谱收敛与高精度，从而降低计算成本。
• 将该方法集成到基于GMRES的求解器中，以实现对开放与闭合表面散射问题的鲁棒且可扩展的求解。
• 展示该方法在真实工程几何体（包括飞机与滑翔机CAD模型）中的适用性。

提出的方法

• 该方法采用混合Nyström-配置策略：对远场、光滑的被积函数，使用费杰第一类积分规则以实现谱精度。
• 对于奇异与近奇异相互作用，通过二维切比雪夫变换对核函数与密度函数的积分进行高精度预计算。
• 应用随表面变化的矩形极坐标变量变换，将积分点聚集在核函数奇点与几何边缘附近，从而提升分辨率与精度。
• 该变量变换确保在奇点处导数为零，从而通过点的聚集实现高阶收敛，而无需使用特殊积分规则。
• 通过密度函数的切比雪夫多项式展开，可高效实现微分与几何量的计算，该方法在电磁BIE中具有实用价值。
• 该方法利用费杰积分与切比雪夫变换之间的共享节点，简化了离散变换的计算，降低了计算开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为基于非重叠Patch的通用几何体上边界积分方程中的奇异核开发一种高阶精度积分方法？
• RQ2 该方法如何在仅使用极少每波长点数的前提下，实现谱精度，同时处理边缘与几何奇点？
• RQ3 该方法在无需几何重参数化或网格化的情况下，对复杂CAD生成几何体的适用范围有多大？
• RQ4 前向算子与完整散射求解器的收敛行为如何，其远场精度与解误差表现如何？
• RQ5 该方法能否扩展至电磁散射及其他非声散射的积分方程公式？

主要发现

• 该方法仅使用每个波长几个点，即可实现远场精度低于百分之零点几，表现出极高的效率与鲁棒性。
• 对于尺寸为2×2×2的立方体且k=1的情况，当应用针对边的特定变量变换时，远场误差降低了多个数量级，p=2时已实现显著改进。
• 在半径为1、k=10π（λ=0.2）的圆盘上，该方法准确捕捉了泊松斑现象，证实了其物理保真度与对细观特征的分辨率。
• 该求解器对开放与闭合表面均实现了高阶收敛，收敛速率与光滑及奇异被积函数的理论预期一致。
• 对于包含87个Patch的CAD生成滑翔机模型，该方法成功计算了总场与强度分布图，证明了其在真实工程几何体中的适用性。
• 通过使用基于切比雪夫的预计算与矩形极坐标变换，该方法的性能得到增强，实现了高精度而无需过度细化网格。