[论文解读] A class formula for L-series in positive characteristic

Florent Demeslay|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用 8

一句话总结

本文在正特征下建立了L-系列的类公式，将Taelman的类数公式推广至具有多个参数的函数域上的Anderson模。通过Fitting理想推导出Pellarin的L-值与Goss L-系列的乘积公式，证明了特殊L-值等于调节子与类模的Fitting理想的乘积，将先前结果扩展至等变及多参数情形。

ABSTRACT

We prove a formula for special L-values of Anderson's modules, analogue in positive characteristic of the class number formula. We apply this result to two kinds of L-series.

研究动机与目标

• 将Taelman的类数公式推广至具有多个参数 $ t_1,\dots,t_s $ 的函数域上的Anderson模。
• 将Pellarin的L-值表达为Fitting理想的乘积，扩展至类经典类数公式的类比。
• 在正特征下，为与狄利克雷特征相关的Goss L-系列建立等变类公式。
• 通过Fitting理想与调节子，统一阿贝尔t-模的特殊L-值与代数不变量。

提出的方法

• 利用Anderson模与shtuka理论，在环 $\mathbb{F}_q(t_1,\dots,t_s)[\theta]$ 上定义类模与调节子。
• 在 $\mathbb{C}_\infty(t_1,\dots,t_s)$ 上应用Gauss范数与赋值 $v_\infty$，以在 $K_{s,\infty}$ 中定义L-系列的收敛性。
• 将特殊L-值表达为环 $A$ 的素理想 $P$ 上的无限乘积，其中各项涉及李代数与模在模 $P$ 下约化后的Fitting理想的比值。
• 利用幂等元 $e_\chi$ 将类模与调节子分解为狄利克雷特征 $\chi$ 的分量，从而实现等变推广。
• 依赖于指数映射与弗罗贝尼乌斯作用之间的同构，将类模的Fitting理想与L-值联系起来。
• 应用 $A[\Delta_a]$-模理论与幂等分解，证明 $K_\infty[\Delta_a]$ 中的等变类公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Taelman的类公式扩展至具有多个参数 $t_1,\dots,t_s$ 的函数域上的Anderson模？
• RQ2 Pellarin的L-值能否表示为李代数与模约化Fitting理想的乘积，类似于经典类数公式？
• RQ3 在 $\mathcal{O}_L$（$a$-挠数域的整环）上，$\operatorname{C}^{\otimes n}$ 的类模的代数结构为何？
• RQ4 在狄利克雷特征 $\chi$ 的分解下，类公式中的调节子行为如何？
• RQ5 在等变情形下，Goss L-系列的特殊值 $L(n,\chi)$ 能否表示为Fitting理想的比值？

主要发现

• 本文证明：对于Carlitz模的 $n$-重张量幂，有 $L(\operatorname{C}^{\otimes n}/A) = \zeta_A(n)$，将Taelman的结果推广至高秩情形。
• Pellarin的 $L$-值被表达为素理想上的无限乘积：$L(\chi_{t_1}\cdots\chi_{t_s},n) = \prod_P \frac{[\operatorname{Lie}(\operatorname{C}^{\otimes n})(\mathcal{O}_L/PA)]_A}{[\operatorname{C}^{\otimes n}(\mathcal{O}_L/PA)]_A}$。
• 对于 $A_+$ 中的无平方因子 $a$，等变 $L$-值 $L(n,\Delta_a)$ 等于 $K_\infty[\Delta_a]$ 中类模的Fitting理想与调节子的乘积，推广了Angl\`es与Taelman的结果。
• 类模 $H(\operatorname{C}^{\otimes n}/\mathcal{O}_L)$ 同构于 $\frac{E_{\alpha(\chi)}(K_\infty(\chi))}{\operatorname{exp}_{\alpha(\chi)}(\operatorname{Lie}(E_{\alpha(\chi)})(K_\infty(\chi)))+E_{\alpha(\chi)}(A(\chi))}$，对每个特征 $\chi$ 成立，从而与指数映射建立联系。
• 调节子通过对数映射的行列式恢复，Fitting理想在等变情形下捕捉了类模的算术性质。
• 证明依赖于通过幂等元 $e_\chi$ 将类模分解为 $\chi$-分量，从而实现对伽罗瓦等变L-值的推广。