[论文解读] A class of $2$-local finite spectra which admit a $v_2^1$-self-map

Prasit Bhattacharya, Philip Egger|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文构建了一类新的有限 2-局部谱，记为 $ ilde{Z}$，其具有 1-周期性的 $v_2$-自同态，正面回答了在 $p=2$ 时是否存在 $v_2$-自同态周期小于 32 的 2-局部有限谱的问题。该构造利用 $B(2)$ 上的 A-模结构，并通过 Adams 分 spectral 序列中的显式计算，将 $ ilde{Z}$ 实现为具有 $v_2^1$-自同态的有限复形，借助 Bruner 的 Ext 计算程序完成。

ABSTRACT

At the prime $2$, Behrens, Hill, Hopkins and Mahowald showed $M_2(1,4)$ admits $32$-periodic $v_2$-self-map and more recently authors joint with Mahowald showed $A_1$ also admits $32$-periodic $v_2$-self-map. This leads to the question, whether there exists a finite $2$-local complex with periodicity less than $32$. This paper will answer the question by producing a class of finite $2$-local spectra $\widetilde{\mathcal{Z}}$ all of which admit $1$-periodic $v_2$-self-map.

研究动机与目标

• 确定是否存在一个 2-局部有限谱，其具有周期小于 32 的 $v_2$-自同态。
• 构造一个 2-局部有限谱 $ ilde{Z}$，使其具有 1-周期性的 $v_2$-自同态。
• 通过显式 A-模结构和 Adams 分 spectral 序列计算实现此类谱。
• 通过 Ext 计算和程序化验证，证明 $ ilde{Z}$ 上存在 $v_2^1$-自同态。

提出的方法

• 使用 j-映射和 $A^*$ 上总平方运算 $Sq = \sum_{i\geq 0} Sqi$ 的右作用，在 $B(2)$ 上构造 A-模结构。
• 验证所得 A-模结构满足实现性所需的相容性条件 (2.8)。
• 使用 Bruner 的程序计算 $\mathrm{Ext}^{*,*}_A(B_2, \mathbb{F}_2)$ 和 $\mathrm{Ext}^{*,*}_A(B_2, B_2)$，其中 $B_2$ 是 $B(2)$ 上的 A-模。
• 生成一个定义文件 'Z'，编码 $B(2)$ 上的 A-模结构，用于计算 Ext 图。
• 通过实现 A-模结构并验证自同态条件，将谱 $ ilde{Z}$ 构造为具有 $v_2^1$-自同态的有限复形。
• 利用图 7 中的 Ext 图确认 $ ilde{Z}$ 上存在非平凡的 $v_2^1$-自同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 2-局部有限谱，其具有周期小于 32 的 $v_2$-自同态？
• RQ2 能否构造一个有限 2-局部谱，使其具有 1-周期性的 $v_2$-自同态？
• RQ3 哪些 $B(2)$ 上的 A-模结构能实现此类谱，且如何通过算法计算？
• RQ4 如何通过 Adams 分 spectral 序列中的 Ext 计算验证 $v_2^1$-自同态的存在性？

主要发现

• 本文构建了一类新的有限 2-局部谱 $ ilde{Z}$，其具有 1-周期性的 $v_2$-自同态。
• 谱 $ ilde{Z}$ 被实现为具有显式 $B(2)$ 上 A-模结构的有限复形，该结构通过 j-映射和 $Sq$ 作用计算得出。
• Bruner 的程序计算了 $\mathrm{Ext}^{*,*}_A(B_2, \mathbb{F}_2)$ 和 $\mathrm{Ext}^{*,*}_A(B_2, B_2)$，其中后者（图 7）确认了 $v_2^1$-自同态的存在。
• $B(2)$ 上的 A-模结构被编码在定义文件 'Z' 中，其中包含 1600 个非平凡的 $Sq^k$-作用于生成元。
• 计算结果确认 $ ilde{Z}$ 支持一个 $v_2^1$-自同态，解决了周期小于 32 的最小周期性问题。
• 该构造提供了首个已知的具有 1-周期性 $v_2$-自同态的 2-局部有限谱实例，优于 $M_2(1,4)$ 上的 32-周期性 $v_2$-自同态。