[论文解读] A class of abstract delay differential equations in the light of suns and stars

Sebastiaan G. Janssens|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文通过在非sun-自反设定下的对偶扰动理论，建立了巴拿赫空间中具有无界线性算子的一类抽象时滞微分方程（DDE）与弱*型积分方程之间的对应关系。关键贡献在于证明了即使状态空间不是sun-自反的，相关抽象积分方程中的卷积积分依然定义良好，并取值于典范嵌入的像中，从而使得sun-星微分法可应用于具有无界生成元的非线性DDE。

ABSTRACT

Using dual perturbation theory in a non-sun-reflexive context, we establish a correspondence between 1. a class of nonlinear abstract delay differential equations (DDEs) with unbounded linear part and an unknown taking values in an arbitrary Banach space and 2. a class of abstract weak* integral equations of convolution type involving the sun-star adjoint of a translation-like strongly continuous semigroup. For this purpose we also characterize the sun dual of the underlying state space. More generally we consider bounded linear perturbations of an arbitrary strongly continuous semigroup and we comment on some implications for the particular case of abstract DDEs.

研究动机与目标

• 将对偶扰动理论扩展到任意巴拿赫空间中具有无界线性部分的抽象DDE。
• 在状态空间非sun-自反的情况下，解决sun-星框架有效性的挑战。
• 表征延迟方程所依赖状态空间的sun对偶。
• 在抽象DDE的温和解与涉及sun-星伴随的弱*型积分方程的解之间建立对应关系。
• 将对偶扰动理论的适用性从经典或有限维情形推广至无限维、无界情形。

提出的方法

• 在非sun-自反背景下利用对偶扰动理论，将抽象DDE与弱*积分方程关联起来。
• 通过在对偶空间上引入类平移半群的sun-星伴随，定义sun-星微分法框架。
• 表征状态空间 $X = C([-h,0]; Y)$ 的sun对偶，以处理非sun-自反情形。
• 采用向量值弱*黎曼积分，在 $X^{owtieowtie}$ 中定义卷积积分，确保在无sun-自反性时仍收敛。
• 应用典范嵌入 $j: X \to X^{owtie\star}$，并证明 $j^{-1}$ 在积分算子的像上定义良好。
• 证明DDE的解对应于涉及 $T_0^\odot^*$ 和非线性算子 $G$ 的抽象积分方程的温和解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将对偶扰动理论扩展到非sun-自反状态空间中具有无界线性算子的抽象DDE？
• RQ2 当状态空间 $X = C([-h,0]; Y)$ 不是sun-自反时，如何应用sun-星框架？
• RQ3 在什么条件下，相关积分方程中的弱*卷积积分能保持定义良好且取值于典范嵌入 $j$ 的像中？
• RQ4 抽象DDE的解与sun-星设定下相应弱*积分方程的解之间有何关系？
• RQ5 sun-星伴随半群 $T_0^{\odot\star}$ 在表征非线性DDE动力学中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了抽象DDE的温和解与涉及sun-星伴随半群的卷积型弱*积分方程解之间的一一对应关系。
• 即使状态空间 $X$ 不是sun-自反的，抽象积分方程中的卷积积分仍取值于典范嵌入 $j$ 的像中，从而为解公式中使用 $j^{-1}$ 提供了合理性。
• 状态空间 $X = C([-h,0]; Y)$ 的sun对偶被表征为对偶空间 $X^*$ 中由在伴随半群 $T_0^*$ 下强连续的泛函构成的子空间 $X^\odot$。
• 证明了DDE的解等价于涉及 $T_0^\odot^*$ 和映射 $X$ 到 $X^{\bowtie\star}$ 的非线性算子 $G$ 的抽象积分方程的温和解。
• 该框架允许对任意强连续半群进行有界线性扰动，并将对偶扰动理论的适用性扩展至具有无界生成元的抽象DDE。
• 结果通过基于sun-星微分法的统一泛函分析框架，将抽象DDE、更新方程和耦合系统的分析统一起来，从而推广了现有理论。