[论文解读] A class of chemotaxis systems with growth source and nonlinear secretion

Zhi‐An Wang, Tian Xiang|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 29被引用 14

一句话总结

本文研究了一个具有非线性信号产生和逻辑斯蒂型生长源的抛物-椭圆型趋化系统，证明了在三种不同条件下经典解的全局存在性与一致有界性：(1) $\kappa < 2/n$ 且 $f \equiv 0$，(2) $\theta > \kappa + 1$，或 (3) $\theta - \kappa = 1$ 且 $b \geq \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$。此外，本文还建立了大趋化敏感度 $\chi$ 下的模式形成现象，并在 $\chi$ 较小或阻尼 $b$ 较大时证明了解收敛到常数平衡态，将先前结果推广至临界阈值。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with a class of parabolic-elliptic chemotaxis systems encompassing the prototype $$\left\{\begin{array}{lll} &amp;u_t = abla\cdot( abla u-χu abla v)+f(u), &amp; x\in Ω, t&gt;0, \\[0.2cm] &amp;0= Δv -v+u^κ, &amp; x\in Ω, t&gt;0 \end{array} ight. $$ with nonnegative initial condition for $u$ and homogeneous Neumann boundary conditions in a smooth bounded domain $Ω\subset \mathbb{R}^n(n\geq 2)$, where $χ&gt;0$, $κ&gt;0$ and $f$ is a smooth growth source satisfying $f(0)\geq 0$ and $$ f(s)\leq a-bs^θ, \quad s\geq 0, ext{with some} a\geq 0, b&gt;0, θ&gt;1. $$ Firstly, it is shown, either $$ κκ+1, $$ or $$ θ-κ=1, \ \ b\geq \frac{(κn-2)}{κn}χ, \eqno(*) $$ that the corresponding initial-value problem admits a unique classical solution that is uniformly bounded in space and time. Our proof is elementary and semigroup-free. Whilst, with the particular choices $θ=2$ and $κ=1$, Tello and Winkler \cite{TW07} use sophisticated estimates via the Neumann heat semigroup to obtain the global boundedness under the strict inequality in ($\ast$). Thereby, we improve their results to the "borderline" case $b=(κn-2)/(κn)χ$ in this regard. Next, for an unbounded range of $χ$, the system is shown to exhibit pattern formations, and, the emerging patterns are shown to converge weakly in $ L^θ(Ω)$ to some constants as $χ ightarrow \infty$. While, for small $χ$ or large damping $b$, precisely $b&gt;2χ$ if $f(u)=u(a-bu^κ)$ for some $a, b&gt;0$, we show that the system does not admit pattern formation and the large time behavior of solutions is comparable to its associated ODE+algebraic system.

研究动机与目标

• 建立具有非线性信号产生和逻辑斯蒂型生长源的抛物-椭圆型趋化系统经典解的全局存在性与一致有界性。
• 确定趋化敏感度 $\chi$ 和阻尼参数 $b$ 的临界阈值，以防止解爆破并确保解的一致有界性。
• 分析解的大时间行为，包括收敛到常数平衡态以及当 $\chi \to \infty$ 时的模式形成现象。
• 通过证明在边界情况 $b = \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$ 下解的有界性，而不依赖半群理论，从而扩展并改进了 Tello 和 Winkler 的先前结果。

提出的方法

• 分析采用基于能量型估计与最大值原理的初等方法，不依赖半群理论。
• 关键步骤在于为比较函数的正部与负部的 $L^2$-范数导出一个微分不等式，从而获得一致有界性。
• 利用椭圆方程 $-\Delta v + v = u^\kappa$ 上的最大值原理，以 $u^\kappa$ 控制信号浓度 $v$。
• 对于大时间稳定性，将系统与关联的常微分方程-代数系统进行比较，通过相线分析推导稳定性条件，并引入关于生长函数 $f$ 的新条件 (6.24)。
• 引入一个比较系统以排除无穷远处的灭绝现象，确保解在零附近保持有界。
• 通过利用平衡态集合的结构与常微分系统稳定性，基于 $L^\infty$-范数中的指数衰减估计，建立了解收敛到常数平衡态的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\kappa$、$\theta$、$b$ 和 $\chi$ 的何种条件下，具有非线性分泌与生长源的趋化系统会存在全局有界的经典解？
• RQ2 该有界性结果能否推广至临界情形 $b = \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$，此前仅在严格不等式条件下成立？
• RQ3 解的大时间行为如何依赖于趋化敏感度 $\chi$ 与阻尼参数 $b$？
• RQ4 当 $\chi$ 较大时，系统是否表现出模式形成？若然，当 $\chi \to \infty$ 时，这些模式如何演化？
• RQ5 在何种条件下解收敛到常数平衡态？该行为与关联的常微分方程+代数系统相比有何异同？

主要发现

• 当 $\kappa < 2/n$ 且 $f \equiv 0$，或 $\theta > \kappa + 1$，或 $\theta - \kappa = 1$ 且 $b \geq \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$ 时（包括临界阈值），系统存在唯一经典解，且在空间与时间上一致有界。
• 该证明方法为初等方法，不依赖 Neumann 热半群估计，从而改进了 Tello 与 Winkler 的结果，后者在阻尼条件中要求严格不等式。
• 当 $\chi$ 足够大时，系统表现出模式形成现象，且所形成的模式在 $L^\theta(\Omega)$ 中弱收敛于常数，当 $\chi \to \infty$ 时。
• 当 $\chi$ 较小或阻尼 $b > 2\chi$（在 $f(u) = u(a - b u^\kappa)$ 情况下），系统不形成模式，且大时间行为与关联的常微分方程+代数系统相近。
• 当生长函数满足 $f(u) \leq \sigma - \mu u^{\kappa+1}$ 且 $\mu > \chi$，并满足附加条件 (6.24) 时，解在 $L^\infty$-范数中指数收敛于常数平衡态 $(z_j, z_j^\kappa)$，其中 $z_j$ 为常微分系统任意局部稳定的平衡点。
• 收敛过程为指数收敛，且在适当初始数据约束下，常数稳态 $(z_j, z_j^\kappa)$ 是局部指数渐近稳定的。