[论文解读] A class of CTRWs: Compound fractional Poisson processes

Enrico Scalas|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Mar 3, 2011

Point processes and geometric inequalities被引用 8

一句话总结

本文将复合分数阶泊松过程（CFPPs）作为Lévy过程的推广，通过用Mittag-Leffler（分数阶）计数过程替代泊松计数过程，得到一种非马尔可夫、非Lévy的过程。主要贡献是推导出功能极限定理，表明CFPP在适当缩放下弱收敛于一个子ordinated到分数阶泊松过程的$α$-稳定Lévy过程，从而将其与时空分数阶扩散方程联系起来。

ABSTRACT

This chapter is an attempt to present a mathematical theory of compound fractional Poisson processes. The chapter begins with the characterization of a well-known Lévy process: The compound Poisson process. The semi-Markov extension of the compound Poisson process naturally leads to the compound fractional Poisson process, where the Poisson counting process is replaced by the Mittag-Leffler counting process also known as fractional Poisson process. This process is no longer Markovian and Lévy. However, several analytical results are available and some of them are discussed here. The functional limit of the compound Poisson process is an $α$-stable Lévy process, whereas in the case of the compound fractional Poisson process, one gets an $α$-stable Lévy process subordinated to the fractional Poisson process.

研究动机与目标

• 发展复合分数阶泊松过程（CFPPs）的数学理论，作为经典复合泊松过程的推广。
• 将CFPP表征为复合泊松过程的半马尔可夫扩展，用Mittag-Leffler计数过程替代泊松过程。
• 研究CFPP的功能极限行为及其与时空分数阶扩散方程的关联。
• 建立CFPP在适当缩放下弱收敛于子ordinated到分数阶泊松过程的$α$-稳定Lévy过程的结论。
• 提供解析结果及CFPP表现出与稳定分布和分数阶扩散相关的缩放极限的条件。

提出的方法

• CFPP定义为$ Y(t) = \sum_{i=1}^{N_{\alpha}(t)} X_i $，其中$ N_{\alpha}(t) $为具有Mittag-Leffler分布间隔时间的分数阶泊松过程。
• 通过特征函数分析，利用Mittag-Leffler分布的拉普拉斯变换和跳跃大小分布的生成函数。
• 通过证明缩放后CFPP的特征函数收敛于$ E_{\beta}(-t^{\beta}|\kappa|^{\alpha}) $，即子ordinated $α$-稳定Lévy过程的特征函数，建立弱收敛性。
• 在条件$ h^\alpha / r^\beta \to 1 $下证明收敛性，其中$ h $和$ r $分别为跳跃大小和间隔时间的缩放参数。
• 通过空间-时间分数阶扩散方程的柯西问题，建立与分数阶扩散的联系，其解被证明为格林函数$ u_{\alpha,\beta}(x,t) $。
• 理论结果得到稳定分布和子ordination已知结果的支持，收敛性由$α$-稳定分布的吸引域推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 将泊松过程替换为Mittag-Leffler计数过程后，复合泊松过程的马尔可夫性和Lévy性质如何改变？
• RQ2 在跳跃大小和间隔时间适当缩放下，复合分数阶泊松过程的功能极限是什么？
• RQ3 复合分数阶泊松过程能否通过其缩放极限与时空分数阶扩散方程建立联系？
• RQ4 CFPP的特征函数在何种条件下收敛于子ordinated $α$-稳定Lévy过程的特征函数？
• RQ5 $α$-稳定分布的吸引域在CFPP收敛于分数阶扩散过程中的作用是什么？

主要发现

• 由于Mittag-Leffler计数过程引入的长程依赖性，复合分数阶泊松过程不是Lévy过程或马尔可夫过程。
• 在缩放$ h^\alpha / r^\beta \to 1 $下，CFPP的功能极限是一个子ordinated于分数阶泊松过程的$α$-稳定Lévy过程。
• 缩放后CFPP的特征函数收敛于$ E_{\beta}(-t^{\beta}|\kappa|^{\alpha}) $，对应于子ordinated过程$ L_{\alpha}(N_{\beta}(t)) $。
• 空间-时间分数阶扩散方程的解为$ u_{\alpha,\beta}(x,t) = t^{-\beta/\alpha} W_{\alpha,\beta}(x/t^{\beta/\alpha}) $，其中$ W_{\alpha,\beta} $为稳定型密度函数。
• 当跳跃大小分布满足$ \widehat{f}_X(h\kappa) \sim 1 - h^\alpha |\kappa|^\alpha $时，收敛性成立，该条件被对称$α$-稳定分布吸引域中的分布满足。
• 结果证实了CFPP弱收敛于子ordinated $α$-稳定过程的猜想，将经典极限定理推广至分数阶设定。