[论文解读] A Class of Distal Functions on Semitopological Semigroups

Ali Jabbari, Hamid Reza Ebrahimi Vishki|ArXiv.org|Feb 13, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文利用Namioka关于平移不变代数的定理，将原本定义在$\mathbb{Z}$上的Weyl代数——一个关于$\mathbb{Z}$的函数的范数闭代数——推广至任意半拓扑半群。文中定义了代数族$W_k$和$W$，证明了它们的所有元素均为拟周期函数，并显式刻画了在双循环半群上$W_1$与$W_2$的结构，表明其由特定类型的指数函数构成。

ABSTRACT

The norm closure of the algebra generated by the set $\{n\mapsto λ^{n^k}:$ $λ\in{\mathbb {T}}$ and $k\in{\mathbb{N}}\}$ of functions on $({\mathbb {Z}}, +)$ was studied in \cite{S} (and was named as the Weyl algebra). In this paper, by a fruitful result of Namioka, this algebra is generalized for a general semitopological semigroup and, among other things, it is shown that the elements of the involved algebra are distal. In particular, we examine this algebra for $({\mathbb {Z}}, +)$ and (more generally) for the discrete (additive) group of any countable ring. Finally, our results are treated for a bicyclic semigroup.

研究动机与目标

• 将原本定义在$({\mathbb{Z}},+)$上的Weyl代数概念推广至一般的半拓扑半群。
• 证明在推广后的代数$W$中所有函数均为拟周期函数，从而推广在$({\mathbb{Z}},+)$上已知的结果。
• 刻画双循环半群上$W_1$与$W_2$的结构，提供显式的函数形式。
• 通过新的代数框架，推广Filali关于可数环上多项式特征函数拟周期性的结果。

提出的方法

• 通过涉及拓扑中心$\Sigma$的递归平移条件，定义乘法子半群族$F_k \subseteq LMC(S)$。
• 将$W_k$定义为$F_k$生成代数的范数闭包，将$W$定义为$\bigcup_k W_k$的一致闭包。
• 利用Namioka的结果（定理3.5）确保代数结构保持拟周期性。
• 证明$F_k$关于左平移及$\Sigma$作用的不变性，从而保证$W_k$为$m$-可接受代数。
• 通过求解来自$R_p f = f_p f$与$R_q f = f_q f$的函数方程，显式计算双循环半群上的$F_1(S)$与$F_2(S)$。
• 验证在双循环半群上所得函数与含$\lambda, \mu, \nu \in \mathbb{T}$的指定指数形式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持拟周期性的前提下，将$({\mathbb{Z}},+)$上的Weyl代数构造推广至任意半拓扑半群？
• RQ2 双循环半群上$W_1$与$W_2$的函数结构为何？
• RQ3 在何种条件下$W(S)$退化为$\mathbb{C}$？这反映了半群结构的何种性质？
• RQ4 $m$-可接受代数框架如何实现对不同半群上拟周期函数的统一处理？

主要发现

• 在任意半拓扑半群上，代数$W$的所有元素均为拟周期函数，推广了Knapp与Namioka在$({\mathbb{Z}},+)$上的结果。
• 对于由$1,p,q$生成且满足$pq=1\ne qp$的双循环半群$S$，$W_1(S)$由函数$q^m p^n \mapsto \mu^r \nu^{1-r}$构成，其中$r=m-n$，且$\mu,\nu \in \mathbb{T}$。
• 对于同一半群，$W_2(S)$由函数$q^m p^n \mapsto \lambda^{(r^2 - r)/2} \mu^{(r^2 + r)/2} \nu^{1 - r^2}$构成，其中$r=m-n$，且$\lambda,\mu,\nu \in \mathbb{T}$。
• 若在双循环半群中$p$或$q$为幂等元，则对所有$i$有$W(S) = W_i(S) = \mathbb{C}$，意味着所有函数均为常数。
• 该构造提供了一种系统方法，可恢复Filali关于可数环上多项式$q(t)$的$\chi(q(t))$拟周期性的结果。