[论文解读] A Class of Distributions for Linear Demand Markets

Stefanos Leonardos, Costis Melolidakis|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Supply Chain and Inventory Management参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文为线性需求市场引入了递减广义均值剩余需求（DGMRD）分布类，证明当需求分布为DGMRD且具有有限二阶矩时，最优定价存在且唯一。研究发现最优价格对应于均值剩余需求（MRD）函数的不动点，从而将广泛使用的递增广义失效率（IGFR）性质推广至允许在不相交区间上混合的情形。

ABSTRACT

In this paper, we study distributions that describe markets with linear stochastic demand. We express the price elasticity of expected demand in terms of the mean residual demand (MRD) function of the demand distribution and characterize optimal prices or equivalently, points of unitary elasticity, as fixed points of the MRD function. This leads to economic interpretable conditions on the demand distribution under which such fixed points exists and are unique. In particular, markets with increasing price elasticity of expected demand that eventually become elastic correspond to distributions with decreasing generalized mean residual demand (DGMRD) and finite second moment. DGMRD distributions strictly generalize the widely used increasing generalized failure rate (IGFR) distributions. In real life economic applications, they arise naturally as mixtures of (possibly) IGFR distributions over disjoint intervals. We further elaborate on the relationship of the two classes and link their limiting behavior at infinity. We examine moment and closure properties of the DGMRD distributions that are important in economic applications and illustrate our results with examples.

研究动机与目标

• 解决IGFR性质在建模具有不相交需求区间的现实经济情景时的局限性。
• 识别线性需求市场中收益函数呈单峰性的条件，以确保唯一最优价格的存在。
• 将IGFR性质推广至包含不相交区间上混合的更广泛分布类。
• 建立确保最优价格存在且唯一的关于需求分布的解析条件。

提出的方法

• 为线性需求 D(p|α) = (α − p)+ 构建卖方期望收益函数 R(p) = p·E[D(p|α)]。
• 将最优定价的一阶条件表达为 p = −E[D(p|α)] / d/dp E[D(p|α)]，将其与期望需求的价格弹性关联。
• 定义均值剩余需求（MRD）函数 m(p) = E[(α − p)+ | α > p] / P(α > p)，用于表征价格 p 以上的期望剩余需求。
• 证明最优价格恰好对应于MRD函数的不动点，即满足 p = m(p) 的解。
• 引入DGMRD性质作为IGFR的推广，其定义为在支撑集上广义均值剩余需求递减。
• 分析DGMRD分布的矩性质与闭包性质，特别是其在不相交区间上分布混合下的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种需求分布条件下，线性随机需求市场中存在唯一最优价格？
• RQ2 DGMRD性质与广泛使用的IGFR性质有何关联？其如何对IGFR进行推广？
• RQ3 在不相交区间上对IGFR或DGMRD分布进行混合后，是否仍满足DGMRD条件？
• RQ4 DGMRD分布的矩性质与闭包性质如何，特别是在混合操作下？
• RQ5 MRD函数的形状如何决定单位价格弹性点的位置与唯一性？

主要发现

• 若需求分布为DGMRD且具有有限二阶矩，则线性需求市场中的最优价格存在且唯一。
• 最优价格恰好对应于均值剩余需求（MRD）函数的不动点，即满足 p = m(p) 的解。
• DGMRD类严格推广了IGFR类，允许在不相交区间上混合分布，而这些情形无法被IGFR覆盖。
• DGMRD分布自然出现在经济应用中，作为在不相交区间上（可能为IGFR）分布的混合，支持基于情景的建模。
• MRD函数完全决定了价格弹性曲线，其形状控制了收益函数的单峰性。
• DGMRD条件在技术上比IGFR更复杂，但可支持更丰富的需求结构建模，包括非连通支撑集。