[论文解读] A Class of Generalized Mixed Variational-Hemivariational Inequalities I: Existence and Uniqueness Results

Yunru Bai, Stanisław Migórski+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

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一句话总结

该论文在一致凸巴拿赫空间中为一类新的广义混合变分-半变分不等式（MVHVI）建立了存在性、唯一性和连续性结果。通过结合Fan-Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz原理、非光滑分析与Minty技巧，该研究在无需紧致性假设下证明了解的存在性，并在Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi（LBB）条件下证明了解的第一分量唯一确定，且在强单调性条件下，解算子具有Hölder连续性。

ABSTRACT

We investigate a generalized Lagrange multiplier system in a Banach space, called a mixed variational-hemivariational inequality (MVHVI, for short), which contains a hemivariational inequality and a variational inequality. First, we employ the Minty technique and a monotonicity argument to establish an equivalence theorem, which provides three different equivalent formulations of the inequality problem. Without compactness for one of operators in the problem, a general existence theorem for (MVHVI) is proved by using the Fan-Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz principle combined with methods of nonsmooth analysis. Furthermore, we demonstrate several crucial properties of the solution set to (MVHVI) which include boundedness, convexity, weak closedness, and continuity. Finally, a uniqueness result with respect to the first component of the solution for the inequality problem is proved by using the Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB) condition. All results are obtained in a general functional framework in reflexive Banach spaces.

研究动机与目标

• 为一致凸巴拿赫空间中一类新的抽象混合变分-半变分不等式（MVHVI）建立一般性函数框架。
• 利用Fan-Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz原理与非光滑分析，在不假设任何算子紧致性的条件下，证明MVHVI解的存在性。
• 在Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi（LBB）条件下，证明解的第一分量的唯一性。
• 分析解集的结构性质，包括有界性、凸性、弱闭性及连续性。

提出的方法

• 运用Minty技巧推导MVHVI问题的三种等价形式。
• 利用Fan-Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz原理，在一般单调性与连续性假设下证明解的存在性。
• 应用非光滑分析工具，特别是广义方向导数 $ J^0 $，以处理半变分不等式部分。
• 对算子 $ A + \gamma^*\partial J(\gamma\cdot) $ 引入一种松弛单调性条件，以确保解的稳定性。
• 利用Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi（LBB）条件，建立解的第一分量的唯一性。
• 在强单调性条件 $ h(u) \geq c_h \|u\|^q $ 下，推导解算子 $ \mathcal{S}_1 $ 的Hölder型连续性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，广义混合变分-半变分不等式在一致凸巴拿赫空间中至少存在一个解？
• RQ2 是否可以在不假设问题中任何算子紧致性的前提下，证明解的存在性？
• RQ3 解的第一分量是否唯一确定？其唯一性在何种条件下成立？
• RQ4 解集具有哪些结构性质（有界性、凸性、弱闭性）？
• RQ5 解如何关于数据（特别是外力 $ f $）连续依赖，具体体现在解算子 $ \mathcal{S}_1 $ 上？

主要发现

• 在标准假设下，MVHVI的解集 $ S(A,J,b,f) $ 在 $ V \times \Lambda $ 中非空、有界、凸且弱闭。
• 多值解算子 $ \mathcal{S}: V^* \to 2^{V \times \Lambda} $ 有界，且强-弱上半连续。
• 在LBB条件下，对每个 $ f \in V^* $，解的第一分量 $ \mathcal{S}_1(f) $ 唯一确定。
• 在强单调性条件 $ h(u) \geq c_h \|u\|^q $ 下，解算子 $ \mathcal{S}_1 $ 满足Hölder型估计 $ \|\mathcal{S}_1(f_1) - \mathcal{S}_1(f_2)\|_V \leq c_h^{1/(q-1)} \|f_1 - f_2\|_{V^*}^{1/(q-1)} $（$ q > 1 $）。
• 解映射 $ \mathcal{S}_1 $ 从 $ V^* $ 上的范数拓扑到 $ V $ 上的弱拓扑是连续的，确保在数据扰动下具有稳定性。
• 通过Minty技巧建立了MVHVI三种形式的等价性，为统一分析框架提供了理论支持。