[论文解读] A class of left quantum groups modeled after SL_q(n)

Aaron Lauve, Earl J. Taft|ArXiv.org|Aug 26, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文构建了一个左量子群 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$，即由余矩阵单位 $X_{ij}$ 生成的左霍普夫代数，其具有左反余元但无右反余元，因此是单边量子群的一个非平凡例子。该构造使用了非标准的量子行列式关系扩展，并证明左反余元并非右反余元，从而确立其为一个真正意义上的左霍普夫代数，且与完整的霍普夫代数不同构。

ABSTRACT

For each n >1, we construct a left quantum group, i.e., a left Hopf algebra H generated by comatrix units X_{ij} and modeled after SL_q(n), which has a left antipode but no right antipode. The quantum special linear group SL_q(n) is a homomorphic image of our H.

研究动机与目标

• 构造一个非双侧霍普夫代数的左霍普夫代数，具体而言是基于 $\mathrm{SL}_q(n)$ 模型的量子群。
• 在由余矩阵单位 $X_{ij}$ 生成的非余交换代数上定义左反余元 $S$，确保 $S \ast \mathbb{I} = \mu\varepsilon$ 但 $\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$。
• 通过证明 $\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$，表明所得代数 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 不是完整的霍普夫代数。
• 提供一个单边量子群的明确例子，其在量子物理和费米子-玻色子对偶性中具有应用。

提出的方法

• 将 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 定义为由 $X_{ij}$（$1 \leq i,j \leq n$）生成的自由代数的商代数，模以类似量子行列式公式导出的关系。
• 使用钻石引理证明生成元的不可约字构成基，从而确保代数结构的良定义性。
• 通过量子伴随矩阵在生成元上定义左反余元 $S$：$S(X_{ij}) = (-q)^{j-i} \mathrm{det}_q(X^{ji})$，并通过反转字的顺序将其延拓至单项式。
• 证明对所有不可约字 $w$，有 $m(S \otimes \mathbb{I})\Delta(w) = \varepsilon(w)1$，从而确认其为左反余元。
• 通过证明 $\sum_j X_{1j}S(X_{j1})$ 不等于 1，显示 $\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$，利用不可约单项式的线性无关性。
• 使用符号 $\ell(I)$ 表示元组的长度，$\delta_{I,\mathfrak{S}_n}$ 用于在定义关系中区分排列与非排列。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于余矩阵单位生成元构造一个非双侧霍普夫代数的左霍普夫代数？
• RQ2 是否存在一个以 $\mathrm{SL}_q(n)$ 为模型的量子群，其具有左反余元但无右反余元？
• RQ3 是否可以在由余矩阵单位生成的非交换代数上定义一个左反余元，使其并非余代数反同态？
• RQ4 此类结构能否用于建模在量子物理中相关的单边量子对称性？

主要发现

• 代数 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 由余矩阵单位 $X_{ij}$ 生成，并通过量子伴随矩阵明确定义了一个良定义的左反余元 $S$。
• 左反余元满足 $S \ast \mathbb{I} = \mu\varepsilon$，确认 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 是一个左霍普夫代数。
• 映射 $\mathbb{I} \ast S$ 不等于 $\mu\varepsilon$，通过 $\sum_j X_{1j}S(X_{j1})$ 的非平凡性得以证明，从而表明不存在右反余元。
• 生成元的不可约字构成 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 的基，确保代数结构良好且在基上有限维。
• 量子行列式关系 $D_I = (-q)^{-\ell(I)}\delta_{I,\mathfrak{S}_n}$ 确保在约化规则的右边不会出现可约字。
• 左反余元并非全局代数反同态，因其定义方式为反转字的顺序，而非满足 $S(ab) = S(b)S(a)$。