[论文解读] A Class of Linear Codes With Three Weights

Qiuyan Wang, Fei Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文针对奇素数 p，在有限域 𝔽_p 上构造了一类新的线性码，利用迹函数和二次特征和定义了具有恰好三个非零权的码。作者推导出这些码的完整权分布，证明其为最优或近似最优，并由于有利的权比特性，适用于秘密共享方案和认证码。

ABSTRACT

Linear codes have been an interesting subject of study for many years. Recently, linear codes with few weights have been constructed and extensively studied. In this paper, for an odd prime p, a class of three-weight linear codes over Fp are constructed. The weight distributions of the linear codes are settled. These codes have applications in authentication codes, association schemes and data storage systems.

研究动机与目标

• 为奇素数 p 构造 𝔽_p 上具有恰好三个非零权的新一族线性码。
• 利用指数和与特征和，确定这些码的完整权分布。
• 建立码达到近似最优最小距离的条件。
• 探讨这些码在秘密共享方案和认证码中的应用。
• 证明最小权与最大非零权之比超过 (p−1)/p，从而可构造具有有趣访问结构的秘密共享方案。

提出的方法

• 通过定义集 D_a = {x ∈ 𝔽_q^* : Tr(x) = a}（其中 a ∈ 𝔽_p^*，q = p^m 且 m > 2）构造码。
• 通过迹映射生成码字：c_x = (Tr(x d_i^2))，其中 d_i ∈ D_a 且 x ∈ 𝔽_q。
• 利用有限域上的加法特征和乘法特征（特别是典范加法特征 χ_1 和二次特征 η）计算权分布。
• 使用涉及高斯和 G(η, χ_1) 和迹函数的关键恒等式，评估每种权的码字数量。
• 根据 m 的奇偶性区分情况分析：m 为奇数（定理 11）和 m 为偶数（定理 12），从而导出不同的权分布。
• 利用特征的正交关系及对集合 S、T 及其补集的计数论证，推导出每种权的确切重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 a ∈ 𝔽_p^*，由定义集 D_a = {x ∈ 𝔽_q^* : Tr(x) = a} 构造的线性码的完整权分布是什么？
• RQ2 当 q = p^m 且 p 为奇素数时，这些码的参数和权分布如何依赖于 m 的奇偶性？
• RQ3 对于给定的长度和维数，这些码能否实现近似最优的最小距离？
• RQ4 这些码是否满足 w_min / w_max > (p−1)/p 的条件，从而可应用于具有非平凡访问结构的秘密共享方案？
• RQ5 从迹函数和特征和导出的三权码在结构和密码学应用方面有哪些？

主要发现

• 当奇数 m > 3 时，码 𝒞_{D_a} 的参数为 [p^{m-1}, m, (p−1)p^{m−2} − p^{(m−3)/2}]，当 (p,m,a) = (5,3,1) 时，权生成函数为 1 + 40x^{19} + 24x^{20} + 60x^{21}，显示出近似最优性。
• 当偶数 m > 2 时，码 𝒞_{D_a} 的参数为 [p^{m-1}, m, (p−1)p^{m−2} − p^{(m−2)/2}]，当 (p,m,a) = (5,4,1) 时，权生成函数为 1 + 240x^{95} + 124x^{100} + 260x^{105}。
• 权分布被完全确定，且恰好包含三个非零权，其显式重数公式取决于 m 的奇偶性。
• 当 m ≥ 6 时，比值 w_min / w_max 超过 (p−1)/p，满足构造具有非平凡访问结构的秘密共享方案的关键条件。
• 由于其结构化的权分布和最优参数，这些码被证明适用于认证码和关联方案。
• 该构造产生的码为最优或近乎最优，如示例所示，其最小距离仅比给定长度和维数下的理论最大值小 1。