[论文解读] A class of metrizable locally quasi-convex groups which are not Mackey

Dikran Dikranjan, Elena Martín Peinador+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文证明了，对于局部拟凸群类 LQC 中的可度量局部拟凸群，完备性是其成为 Mackey 群的必要条件；具体而言，构造了一类非紧致、可度量、预紧致的群 $ c_0(X) $，其中 $ X \neq \{0\} $ 为连通紧致可度量空间，尽管在一致拓扑下完备且可度量，但其在 LQC 中并非 Mackey 群。关键结果表明，$ c_0(X) $ 上的乘积拓扑虽然与同一对偶兼容，却严格弱于一个更精细的相容局部拟凸拓扑，从而违反了 Mackey 条件。

ABSTRACT

A topological group $(G,μ)$ from a class $\mathcal G$ of MAP topological abelian groups will be called a {\it Mackey group} in $\mathcal G$ if it has the following property: if $ν$ is a group topology in $G$ such that $(G,ν)\in \mathcal G$ and $(G,ν)$ has the same continuous characters, say $(G,ν)^{\wedge}=(G,μ)^{\wedge}$, then $ν\le μ$. If $ m{LCS}$ is the class of Hausdorff topological abelian groups which admit a structure of a locally convex topological vector space over $\mathbb R$, it is well-known that every metrizable $(G,μ) \in m{LCS}$ is a Mackey group in $ m{LCS}$. For the class $ m{LQC}$ of locally quasi-convex Hausdorff topological abelian groups, it was proved in 1999 that every {\bf complete} metrizable $(G,μ)\in m{LQC}$ is a Mackey group in $ m{LQC}$ (\cite{CMPT}). The completeness cannot be \NB dropped within the class $ m{LQC}$ as we prove in this paper. In fact, we provide a large family of metrizable precompact \NB(noncompact) groups which {\bf are not} Mackey groups in m{LQC} (Theorem ef{basth}). Those examples are constructed from groups of the form $c_0(X)$, whose elements are the null sequences of a topological abelian group $X$, and whose topology is the uniform topology. We first show that for a compact metrizable group $X e\{0\}$ the topological group $c_0(X)$ is a non-compact complete metrizable locally quasi-convex group, which has {\bf countable} topological dual iff $X$ is connected. Then we prove that for a connected compact metrizable group $X e\{0\}$ the group $c_0(X)$ endowed with the product topology induced from the product $X^{\N}$ is metrizable precompact but not a Mackey group in LQC.

研究动机与目标

• 探究完备性是否为可度量局部拟凸群在 LQC 类中成为 Mackey 群的必要条件。
• 确定在 LQC 中，可度量预紧致群是否可能因与更精细的相容拓扑具有相同的连续特征标而并非 Mackey 群。
• 利用连通紧致可度量群 $ X \neq \{0\} $ 上的零序列 $ c_0(X) $，显式构造 LQC 中非 Mackey 群的可度量预紧致群的例子。

提出的方法

• 将群 $ c_0(X) $ 构造为 $ X^\mathbb{N} $ 中零序列的子群，并赋予其一致拓扑，其中 $ X \neq \{0\} $ 为紧致可度量群。
• 赋予 $ c_0(X) $ 由 $ X^\mathbb{N} $ 导出的乘积拓扑 $ \mathfrak{p}_0 $，该拓扑可度量且预紧致，但不完全。
• 证明在 $ \mathfrak{p}_0 $ 下，$ c_0(X) $ 是局部拟凸且可度量的，且其对偶可数当且仅当 $ X $ 连通。
• 在 $ c_0(X) $ 上定义一个严格更精细的局部拟凸群拓扑 $ \mathfrak{u}_0 $，使其与 $ \mathfrak{p}_0 $ 相容，即 $ (c_0(X), \mathfrak{p}_0)^\wedge = (c_0(X), \mathfrak{u}_0)^\wedge $，从而证明 $ \mathfrak{p}_0 $ 并非最精细的相容拓扑。
• 利用 $ \mathbb{N} $ 上的超滤子极限，构造从 $ X^\mathbb{N} $ 到 $ X $ 的不可数个连续同态，表明 $ X^\mathbb{N} $ 的对偶至少具有 $ 2^{\mathfrak{c}} $ 的大小，这有助于确立 $ c_0(X) $ 在 $ \mathfrak{p}_0 $ 拓扑下的非 Mackey 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 完备性是否为可度量局部拟凸群在 LQC 类中成为 Mackey 群的必要条件？
• RQ2 在 LQC 中，可度量预紧致群是否可能并非 Mackey 群，即使其局部拟凸且与一个严格更精细的相容拓扑具有相同的对偶？
• RQ3 当赋予乘积拓扑时，对于连通紧致可度量群 $ X \neq \{0\} $，群 $ c_0(X) $ 是否在 LQC 中不是 Mackey 群？
• RQ4 在连通性方面，$ c_0(X) $ 的拓扑对偶与 $ X $ 的结构之间有何关系？
• RQ5 是否可利用 $ X^\mathbb{N} $ 等乘积群的不可数对偶来构造相容但严格更精细的拓扑，从而违反 Mackey 性质？

主要发现

• 对于连通紧致可度量群 $ X \neq \{0\} $，群 $ c_0(X) $ 在乘积拓扑 $ \mathfrak{p}_0 $ 下是可度量、预紧致、局部拟凸的群，但在 LQC 中并非 Mackey 群。
• 存在一个严格更精细的局部拟凸群拓扑 $ \mathfrak{u}_0 $，使得 $ (c_0(X), \mathfrak{p}_0)^\wedge = (c_0(X), \mathfrak{u}_0)^\wedge $，违反了 Mackey 条件 $ \nu \leq \mu $。
• 当且仅当 $ X $ 连通时，$ c_0(X) $ 的对偶可数，这是反例的关键结构性条件。
• 赋予乘积拓扑的群 $ X^\mathbb{N} $ 至少有 $ 2^{\mathfrak{c}} $ 个到 $ X $ 的连续同态，意味着其对偶不可数，这支持了存在多个相容拓扑的事实。
• 该反例表明，1999 年关于完备可度量局部拟凸群在 LQC 中为 Mackey 群的结果中，完备性条件不可省略。
• 该构造提供了一类庞大的可度量预紧致非 Mackey 群，填补了阿贝尔群 Mackey 拓扑理论中的一个空白。