[论文解读] A Class of Non-Parametric Statistical Manifolds modelled on Sobolev Space

Nigel J. Newton|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 37被引用 11

一句话总结

本文利用加权Sobolev空间作为模型空间，在ℝᵈ上构建了有限测度的无限维统计流形，采用具有线性增长的变形指数函数以确保Nemytskii算子的连续性。关键贡献在于通过Fisher-Rao度量建立了弱Riemann结构，并证明了密度及其图表在混合范数与固定范数Sobolev空间中连续变化，从而支持非线性滤波和Fokker-Planck方程的应用。

ABSTRACT

We construct a family of non-parametric (infinite-dimensional) manifolds of finite measures on $R^d$. The manifolds are modelled on a variety of weighted Sobolev spaces, including Hilbert-Sobolev spaces and mixed-norm spaces. Each supports the Fisher-Rao metric as a weak Riemannian metric. Densities are expressed in terms of a deformed exponential function having linear growth. Unusually for the Sobolev context, and as a consequence of its linear growth, this "lifts" to a nonlinear superposition (Nemytskii) operator that acts continuously on a particular class of mixed-norm model spaces, and on the fixed norm space $W^{2,1}$; i.e. it maps each of these spaces continuously into itself. It also maps continuously between other fixed-norm spaces with a loss of Lebesgue exponent that increases with the number of derivatives. Some of the results make essential use of a log-Sobolev embedding theorem. Each manifold contains a smoothly embedded submanifold of probability measures. Applications to the stochastic partial differential equations of nonlinear filtering (and hence to the Fokker-Planck equation) are outlined.

研究动机与目标

• 开发基于无限维Sobolev空间的非参数统计流形，用于统计推断与随机过程。
• 解决在无限维设定下确保统计散度（如KL散度）光滑性与连续性的挑战。
• 通过Sobolev型模型空间将样本空间ℝᵈ的拓扑与微分结构融入统计流形构造中。
• 通过构建具备适当正则性的流形，实现对随机PDE（特别是非线性滤波与Fokker-Planck方程）的应用。

提出的方法

• 采用结合密度与对数密度的平衡坐标图，以控制模型空间中的p与log p，确保统计散度的光滑性。
• 使用具有线性增长的变形指数函数定义流形，使得其关联的Nemytskii算子能在混合范数与固定范数Sobolev空间上连续作用。
• 应用对数Sobolev嵌入定理，建立Nemytskii算子在不同Sobolev与Lebesgue空间之间的连续性与有界性。
• 构建基于加权Hilbert-Sobolev空间与混合范数空间（包括W²,¹）的流形，确保Fisher-Rao度量作为弱Riemann度量是良定义的。
• 利用叠加（Nemytskii）算子将Sobolev空间中的函数映射到自身，同时控制高阶导数下Lebesgue可积性的损失。
• 通过将概率测度嵌入流形中，并将条件密度的动力学与随机PDE关联，概述了在非线性滤波中的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无限维Sobolev空间上构建非参数统计流形，同时保持Fisher-Rao度量作为弱Riemann结构？
• RQ2 变形指数函数需满足何种条件，才能确保其Nemytskii算子在混合范数与固定范数Sobolev空间上的连续性？
• RQ3 变形指数函数的线性增长特性如何影响Sobolev模型空间中密度及其图表的正则性？
• RQ4 对数Sobolev嵌入定理在这些流形上如何促进连续叠加算子的构造？
• RQ5 此类流形是否能支持概率测度的光滑嵌入，并应用于Fokker-Planck方程与非线性滤波方程？

主要发现

• 与线性增长变形指数相关的Nemytskii算子能连续地从混合范数Sobolev空间映射到自身，确保了坐标图的连续性。
• 在具有超过两个导数的固定范数空间中，Nemytskii算子导致Lebesgue指数的损失，且损失程度随导数阶数增加而上升。
• Fisher-Rao度量在基于加权Sobolev空间构造的流形上作为弱Riemann度量是良定义的。
• 该流形包含光滑嵌入的概率测度子流形，从而在无限维设定下支持统计推断。
• 通过将条件密度的动力学嵌入流形中，该构造支持对非线性滤波与Fokker-Planck方程的应用。
• Kaniadakis 1-指数产生具有类似正则性的流形结构，尽管其统计几何性质有所不同。