[论文解读] A Class of Nonbinary Codes and Their Weight Distribution

Xiangyong Zeng, Nian Li+1 more|ArXiv.org|Feb 23, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文提出了一类新的 $p$-元非二元码 $\mathcal{C}^k$，其中 $p$ 为奇素数，通过有限域上的迹函数和二次型定义，并在条件 $\gcd(n/2,k) = \gcd(n/2-k,2k) = d$ 且 $d$ 为奇数时，完全确定了其重量分布。主要贡献在于显式确定了重量分布，并构造了一个包含 $p^{3n/2}$ 个非二元序列的族，其周期为 $p^n - 1$，最大相关性为 $p^{n/2 + d} + 1$，该结果将二元 Kasami 序列推广到了奇特征情形。

ABSTRACT

In this paper, for an even integer $n\geq 4$ and any positive integer $k$ with ${ m gcd}(n/2,k)={ m gcd}(n/2-k,2k)=d$ being odd, a class of $p$-ary codes $\mathcal{C}^k$ is defined and their weight distribution is completely determined, where $p$ is an odd prime. As an application, a class of nonbinary sequence families is constructed from these codes, and the correlation distribution is also determined.

研究动机与目标

• 将二元 Kasami 码的构造推广至奇素数域上的非二元码。
• 在 $k$ 与 $n$ 满足特定数论条件时，确定一类 $p$-元循环码 $\mathcal{C}^k$ 的完整重量分布。
• 应用码的结构，构造一个具有低相关性且相关性分布可显式确定的非二元序列族。
• 将二元 Kasami 序列的性质推广至奇素数 $p$ 的非二元情形 $\mathbb{F}_p$。

提出的方法

• 将码 $\mathcal{C}^k$ 定义为向量集合 $c(\gamma,\delta,\epsilon) = \big(\Pi_{\gamma,\delta}(x) + \operatorname{Tr}^n_1(\epsilon x)\big)_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*}$，其中 $\Pi_{\gamma,\delta}(x)$ 是涉及 $x^{p^{n/2}+1}$ 和 $x^{p^k+1}$ 的迹函数之和。
• 利用指数和的性质以及方程 $\delta^{p^{n-k}}y^{p^{n/2-k}+1} + \gamma y + \delta = 0$ 在 $\gamma\delta \neq 0$ 时的根，分析二次型 $\Pi_{\gamma,\delta}(x)$ 的秩。
• 利用奇特征有限域上二次型的理论，根据最大公因数条件，将 $\Pi_{\gamma,\delta}$ 的秩分类为 $n$、$n-d$ 或 $n-2d$。
• 通过计算指数和 $S(\gamma,\delta,\epsilon) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*} \psi(\Pi_{\gamma,\delta}(x) + \operatorname{Tr}^n_1(\epsilon x))$ 来确定重量分布，其中 $\psi$ 为非平凡加法特征。
• 通过分析 $S(\gamma,\delta,\epsilon) - 1$ 在 $\mathbb{F}_{p^m} \times \mathbb{F}_{p^n} \times (\mathbb{F}_{p^n} \setminus \{1\})$ 上的分布，推导序列族 $\mathcal{F}^k$ 的相关性分布。
• 利用 $\mathcal{C}^k$ 的码字构造包含 $p^{3n/2}$ 个序列的序列族 $\mathcal{F}^k$，其周期为 $p^n - 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在条件 $\gcd(n/2,k) = \gcd(n/2-k,2k) = d$ 且 $d$ 为奇数时，$p$-元码 $\mathcal{C}^k$ 的完整重量分布为何？
• RQ2 能否利用指数和与奇特征有限域上二次型的性质，确定 $\mathcal{C}^k$ 的重量分布？
• RQ3 由 $\mathcal{C}^k$ 构造的序列族 $\mathcal{F}^k$ 的相关性分布为何？
• RQ4 $\mathcal{F}^k$ 的最大相关性幅度如何依赖于参数 $n$、$k$ 和 $p$？
• RQ5 能否将二元 Kasami 序列的构造推广至 $\mathbb{F}_p$ 上的非二元序列，使其具有类似的关联特性？

主要发现

• 在条件 $\gcd(n/2,k) = \gcd(n/2-k,2k) = d$ 且 $d$ 为奇数时，$p$-元码 $\mathcal{C}^k$ 的重量分布被完全确定，其可能的三种重量为：$p^{n-1}(p-1) - p^{n/2}$、$p^{n-1}(p-1) - p^{n/2 - d}$ 和 $p^{n-1}(p-1) - p^{n/2 + d}$。
• 码 $\mathcal{C}^k$ 的长度为 $p^n - 1$，维度为 $5n/2$，当 $d=1$ 时，其最小距离达到 $(p-1)p^{n-1} - p^{n/2}$。
• 序列族 $\mathcal{F}^k$ 包含 $p^{3n/2}$ 个序列，每个序列的周期为 $p^n - 1$，其最大相关性幅度为 $p^{n/2 + d} + 1$。
• 序列族 $\mathcal{F}^k$ 的相关性分布取 $5p + 2$ 个不同的值，如表 4 所示，且其可由 $\mathcal{C}^k$ 的重量分布显式导出。
• 当 $d=1$ 时，最大相关性幅度为 $p^{n/2 + 1} + 1$，且族的大小为 $p^{3n/2}$，与二元 Kasami 序列在非二元情形下的性质一致。
• 该构造避免了周期 $\leq (p^n - 1)/2$ 的序列，从而确保了全周期序列并具备最优相关性特性。