[论文解读] A class of $q$-ary linear codes derived from irreducible cyclic codes

Ziling Heng, Qin Yue|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文提出了一类新的 $q$-元线性码，其构造基于不可约循环码，并利用高斯和来表征其汉明重量并推导最小距离的界。在特定情况下，明确确定了其重量分布，且许多所得码被证明是最优的，从而在秘密共享和认证方案中扩展了编码理论中的已知结果。

ABSTRACT

Recently, linear codes with a few weights were widely investigated due to their applications in secret sharing schemes and authentication schemes. In this letter, we present a class of $q$-ary linear codes derived from irreducible cyclic codes with $q$ a prime power. We use Gauss sums to represent its Hamming weights and obtain the bounds of its minimum Hamming distance. In some cases, we explicitly determine its weight distributions which generalize some known results. It is quite interesting that many new codes obtained in this letter are optimal according to some bounds on linear codes.

研究动机与目标

• 基于不可约循环码构造一类新的 $q$-元线性码，以应用于秘密共享和认证方案。
• 利用高斯和分析这些码的汉明重量，从而实现对其重量分布的精确表征。
• 建立所构造码的最小汉明距离的界。
• 通过将已知的线性码重量分布结果推广至更广泛的 $q$-元码类，实现对已有结果的推广。
• 识别在何种情况下所构造的码根据线性码的已知界达到最优性。

提出的方法

• 该构造利用有限域上阶为素数幂 $q$ 的不可约循环码。
• 高斯和被用作数学工具，以表达和分析所得线性码的汉明重量。
• 采用涉及特征和与高斯和性质的分析技术，推导最小汉明距离的界。
• 在特定参数范围内，利用码的代数结构和高斯和恒等式，显式计算出完整的重量分布。
• 通过将码的参数与线性码的已知界进行比较，评估码的最优性。
• 使用理论分析，将先前关于线性码重量分布结果推广至这一新类码。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用不可约循环码构造具有优良重量特性的新 $q$-元线性码？
• RQ2 高斯和在确定这些码的汉明重量和最小距离方面起到何种作用？
• RQ3 在何种条件下可以显式计算出所构造码的完整重量分布？
• RQ4 所构造的码在多大程度上相对于已知界实现了最小距离的最优性？
• RQ5 这些码在多大程度上推广或扩展了文献中关于少重量线性码的已有结果？

主要发现

• 所提出的构造产生了一类新的 $q$-元线性码，其来源于不可约循环码，扩展了已知构造的范围。
• 高斯和为表示和分析码的汉明重量提供了有效方法，从而实现了对重量分布的精确分析。
• 在多个情况下，码的完整重量分布被显式确定，推广了该领域先前的结果。
• 利用高斯和技术对码的最小汉明距离进行了界定，得到了非平凡的下界。
• 所构造的许多码被证明是最优的，其最小距离达到了根据既定界对相应长度和维数所知的最佳值。
• 结果表明，由于其少重量结构和最优性，这些新码适用于秘密共享和认证方案的实际应用。