[论文解读] A class of simple $C^*$-algebras arising from certain nonsofic subshifts

Kengo Matsumoto|ArXiv.org|May 19, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文从非索菲克子移系统 $Z_N$ 构造了一类新的简单纯无限 C*-代数 $\

ABSTRACT

We present a class of subshifts $Z_N, N = 1,2,...$ whose associated $C^*$-algebras ${\cal O}_{Z_N}$ are simple, purely infinite and not stably isomorphic to any Cuntz-Krieger algebra nor to Cuntz algebra. The class of the subshifts is the first examples whose associated $C^*$-algebras are not stably isomorphic to any Cuntz-Krieger algebra nor to Cuntz algebra. The subshifts $Z_N$ are coded systems whose languages are context free. We compute the topological entropy for the subshifts and show that KMS-state for gauge action on the associated $C^*$-algebra ${\cal O}_{Z_N}$ exists if and only if the logarithm of the inverse temperature is the topological entropy for the subshift $Z_N$, and the corresponding KMS-state is unique.

研究动机与目标

• 从不与任何 Cuntz-Krieger 或 Cuntz 代数稳定同构的子移系统 $Z_N$ 构造一类新的简单纯无限 C*-代数 $\mathcal{O}_{Z_N}$。
• 证明子移系统 $Z_N$ 是非索菲克的，且具有上下文无关语言，使其与以往研究的符号系统相区别。
• 计算 $Z_N$ 的拓扑熵，并通过 $\beta$ 的唯一六次多项式方程精确建立 KMS 态与熵之间的对应关系。
• 证明 $Z_N$ 的 K-群与 Bowen-Franks 群能区分流等价类，从而证明这些子移系统两两不等价。

提出的方法

• 子移系统 $Z_N$ 被定义为源自符号矩阵系统和 $\lambda$-图系统的上下文无关语言的编码系统。
• 通过由 $\lambda$-图系统编码的关系生成的部分等距和投影的泛 C*-代数，构造 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{Z_N}$。
• 利用长度为 $k$ 的词数的增长率计算 $Z_N$ 的拓扑熵，导出一个关于 $\beta$ 的六次多项式方程，其唯一实根 $\beta_N > N$ 满足 $h_{\text{top}}(Z_N) = \log \beta_N$。
• 通过 KMS 条件和 $C^*$-代数的结构分析 $\mathcal{O}_{Z_N}$ 上的规范作用的 KMS 态，证明当且仅当 $\log \beta = h_{\text{top}}(Z_N)$ 时存在且唯一。
• 计算 K-理论不变量 $K_0(\mathcal{O}_{Z_N}) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，$K_1(\mathcal{O}_{Z_N}) = \{0\}$，以区分流等价类。
• 应用统一系数定理计算 Ext-群，用于定义 Bowen-Franks 群 $BF^i(Z_N)$，从而证明 $Z_N$ 子移系统之间不流等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从非索菲克子移系统构造一类新的简单纯无限 C*-代数，使其不与任何 Cuntz-Krieger 或 Cuntz 代数稳定同构？
• RQ2 在 $\mathcal{O}_{Z_N}$ 上的规范作用下，KMS 态的存在性与子移系统 $Z_N$ 的拓扑熵之间是否存在精确关系？
• RQ3 $Z_N$ 的 K-理论和 Bowen-Franks 群的行为如何？能否用于按流等价分类这些子移系统？
• RQ4 子移系统 $Z_N$ 的拓扑熵是否可计算？它是否满足关于 $\beta$ 的特定代数方程？
• RQ5 当 $N \to \infty$ 时，熵 $h_{\text{top}}(Z_N) = \log \beta_N$ 的渐近行为如何？

主要发现

• 子移系统 $Z_N$ 是非索菲克的，且具有上下文无关语言，使其与索菲克或类索菲克系统相区别。
• 关联的 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{Z_N}$ 是简单且纯无限的，且不与任何 Cuntz-Krieger 代数或 Cuntz 代数稳定同构。
• 子移系统 $Z_N$ 的拓扑熵为 $h_{\text{top}}(Z_N) = \log \beta_N$，其中 $\beta_N > N$ 是六次多项式 $\beta^6 - (N+3)\beta^5 + (3N+1)\beta^4 - 2(N-1)\beta^3 - (N+2)\beta^2 + N - 1 = 0$ 的唯一实根。
• 在 $\mathcal{O}_{Z_N}$ 上的规范作用下，KMS 态存在的充要条件是逆温度 $\beta$ 满足 $\log \beta = h_{\text{top}}(Z_N)$，且此时该态唯一。
• K-群为 $K_0(\mathcal{O}_{Z_N}) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，$K_1(\mathcal{O}_{Z_N}) = \{0\}$，Bowen-Franks 群为 $BF^0(Z_N) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$，$BF^1(Z_N) = \mathbb{Z}$，证明子移系统 $Z_N$ 两两不流等价。
• 当 $N \to \infty$ 时，比值 $\beta_N / N \to 1$，表明 $h_{\text{top}}(Z_N) \sim \log N$ 渐近成立。