[论文解读] A class of sublinear operators and their commutators by with rough kernels on vanishing generalized Morrey spaces

Feri̇t Gürbüz|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了具有粗糙核的次线性算子——包括Calderón–Zygmund算子、分数次积分算子和极大算子及其交换子——在消失广义Morrey空间上的有界性。研究证明，在增长函数和交换子核的BMO范数满足精确条件时，此类算子有界地映射 $VM_{p,\theta_1}$ 到 $VM_{q,\theta_2}$。

ABSTRACT

In this paper, we consider the boundedness of a class of sublinear operators and their commutators by with rough kernels associated with Calderon-Zygmund operator, Hard-Littlewood maximal operator, fractional integral operator, fractional maximal operator by with rough kernels both on vanishing generalized Morrey spaces and vanishing Morrey spaces, respectively.

研究动机与目标

• 将具有粗糙核的次线性算子理论扩展到消失广义Morrey空间。
• 研究涉及BMO函数与粗糙奇异积分的交换子在这些空间上的有界性。
• 建立确保算子及其交换子有界性的增长函数 $\varphi_1$, $\varphi_2$ 的精确条件。
• 将经典Morrey空间中的已知结果推广到消失广义Morrey情形。
• 为通过消失Morrey型空间中算子的有界性研究PDE的正则性提供一个框架。

提出的方法

• 通过小尺度上的消失条件定义消失广义Morrey空间 $VM_{p,\varphi}$：$\lim_{r\to 0} \sup_{x} \varphi(x,r)^{-1} r^{n/q} \|f\|_{L_p(B(x,r))} = 0$。
• 对粗糙核 $\Omega \in L_s(S^{n-1})$, $s>1$ 且具有消去性的核，使用积分核条件 $|T_{\Omega}f(x)| \leq c_0 \int \frac{|\Omega(x-y)|}{|x-y|^n} |f(y)| dy$。
• 应用交换子估计 $\|T_{\Omega,b,\alpha}f\|_{L_q(B(x,r))} \lesssim \|b\|_* \int_r^\infty (1+\ln(t/r)) \varphi_1(x,t) t^{-n/q-1} \|f\|_{L_p(B(x,t))} dt$。
• 通过范数比较建立有界性：在条件 (3.19) 和 (3.21) 下，有 $\|T_{\Omega,b,\alpha}f\|_{VM_{q,\varphi_2}} \lesssim \|b\|_* \|f\|_{VM_{p,\varphi_1}}$。
• 利用对数积分估计和 $\varphi_1$, $\varphi_2$ 的衰减性质，控制 $r \to 0$ 时的行为。
• 通过证明 $\sup_x \varphi_2(x,r)^{-1} \|T_{\Omega,b,\alpha}f\|_{L_q(B(x,r))} \to 0$ 当 $r \to 0$，验证算子 $T_{\Omega,b,\alpha}$ 作用下像的消失条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 交换子 $[b, T_{\Omega,\alpha}]$ 在何种条件下有界地映射 $VM_{p,\varphi_1}$ 到 $VM_{q,\varphi_2}$？
• RQ2 增长函数 $\varphi_1$, $\varphi_2$ 如何影响粗糙奇异积分及其交换子的有界性？
• RQ3 该有界性结果能否推广到具有粗糙核的分数次积分算子和极大算子？
• RQ4 BMO范数 $\|b\|_*$ 在算子范数估计中起什么作用？
• RQ5 消失Morrey型空间 $VM_{p,\varphi}$ 中的消失条件是否比标准Morrey空间提供更强的正则性？

主要发现

• 在增长函数满足条件 (3.19) 和 (3.21) 时，交换子 $[b, \overline{T}_{\Omega,\alpha}]$ 有界地映射 $VM_{p,\varphi_1}$ 到 $VM_{q,\varphi_2}$。
• 当 $\varphi_1(x,r) = r^{\lambda/p}$, $\varphi_2(x,r) = r^{\mu/q}$ 且 $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{\alpha}{n}$ 时，算子 $T_{\Omega,b,\alpha}$ 满足 $\|T_{\Omega,b,\alpha}f\|_{VM_{q,\mu}} \lesssim \|b\|_* \|f\|_{VM_{p,\lambda}}$。
• 当 $s' \leq p$ 或 $q < s$ 时，其中 $s$ 是 $\Omega$ 的可积指数，该有界性成立。
• 该结果可推广至极大算子 $M_{\Omega,b,\alpha}$，其同样有界地映射 $VM_{p,\varphi_1}$ 到 $VM_{q,\varphi_2}$。
• 当 $\varphi$ 与 $x$ 无关时，条件 (3.18) 和 (3.20) 冗余，简化了有界性准则。
• 证明依赖于含 $\ln(t/r)$ 的积分估计和 $\varphi_1(x,t)$ 的衰减性质，确保算子作用下消失条件得以保持。