[论文解读] A class of three-weight and five-weight linear codes

Fei Li, Qiuyan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 3

一句话总结

本论文通过在特定定义集 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^* : \mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0\}$ 上使用迹函数，构造了 $\mathbb{F}_p$ 上具有三或五权重的线性码 ${\mathcal{C}}_D$，其中 $q = p^m$。主要贡献在于在 $m$ 和 $p$ 的不同条件下，完全确定了这些码的权重分布，并表明当 $m \geq 5$ 时，码满足 $w_{\min}/w_{\max} > (p-1)/p$，从而可用于秘密共享方案。

ABSTRACT

Recently, linear codes with few weights have been widely studied, since they have applications in data storage systems, communication systems and consumer electronics. In this paper, we present a class of three-weight and five-weight linear codes over Fp, where p is an odd prime and Fp denotes a finite field with p elements. The weight distributions of the linear codes constructed in this paper are also settled. Moreover, the linear codes illustrated in the paper may have applications in secret sharing schemes.

研究动机与目标

• 在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上构造具有少量权重（三或五）的线性码，以应用于编码理论和密码学。
• 针对 $m$ 为偶数或奇数，且 $p$ 整除或不整除 $m$ 的不同情况，确定这些码的精确权重分布。
• 通过分析比率 $w_{\min}/w_{\max}$，建立码可用于秘密共享方案的条件。
• 推广先前利用迹函数和有限域中定义集构造少权重码的方法。

提出的方法

• 码 ${\mathcal{C}}_D$ 定义为 $\{ (\mathrm{Tr}(x d_1), \dots, \mathrm{Tr}(x d_n)) \mid x \in \mathbb{F}_q \}$，其中 $D$ 是 $\mathbb{F}_q$ 中满足 $\mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0$ 的非零元素集合。
• 利用高斯和与特征和的性质推导权重分布，特别是涉及二次特征 $\eta$ 和迹函数 $\mathrm{Tr}$。
• 通过引理 14、15、17、18 和 24 计算每种权重的码字数量，这些引理将权重与 $x d_i$ 的迹以及 $b \in \mathbb{F}_q$ 的 $\mathrm{Tr}(b)$ 和 $\mathrm{Tr}(b^2)$ 值相关联。
• 基于定义集 $D$ 的大小和迹函数的像，确定码的参数，包括长度、维度和最小距离。
• 通过求解由前两个 Pless 幂矩导出的方程组，计算权重生成多项式，确保与码字总数和权重总和的一致性。
• 理论分析使用恒等式 $G = -(-1)^{m(p-1)/4} p^{m/2}$，将权重重数表示为 $p$、$m$ 和高斯和的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_p$ 上，由 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^* : \mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0\}$ 定义的线性码 ${\mathcal{C}}_D$ 的权重分布是什么？
• RQ2 当 $m$ 为偶数或奇数，且 $p$ 整除或不整除 $m$ 时，${\mathcal{C}}_D$ 的参数和权重分布如何变化？
• RQ3 所构造的具有三或五权重的码能否用于秘密共享方案？在何种条件下可以？
• RQ4 这些码的最小距离和比率 $w_{\min}/w_{\max}$ 的精确值是什么？是否超过 $(p-1)/p$？
• RQ5 高斯和与特征和如何促进权重分布的精确计算？

主要发现

• 当 $m > 2$ 为偶数且 $p \mid m$ 时，码 ${\mathcal{C}}_D$ 是一个 $[p^{m-1} - 1 + p^{-1}(p-1)G, m]$ 码，具有三权重，其中 $G = -(-1)^{m(p-1)/4} p^{m/2}$。
• 当 $m$ 为偶数且 $p \nmid m$ 时，码 ${\mathcal{C}}_D$ 是一个 $[p^{m-1} - p^{-1}G - 1, m]$ 码，具有五权重，其权重分布已在表 2 中完全确定。
• 当 $m$ 为奇数且 $p \mid m$ 时，码 ${\mathcal{C}}_D$ 的参数为 $[p^{m-1} - 1, m]$，具有五种不同的非零权重，详见表 3。
• 当 $m \geq 5$ 时，码的比率 $w_{\min}/w_{\max}$ 超过 $(p-1)/p$，满足构造具有有趣访问结构的秘密共享方案的必要条件。
• 参数为 $(p,m) = (3,6)$ 的码长度为 260，维度为 6，最小距离为 162，权重生成多项式为 $1 + 98x^{162} + 324x^{171} + 306x^{180}$。
• 参数为 $(p,m) = (3,4)$ 的码长度为 29，维度为 4，最小距离为 18，根据码表为最优码，权重生成多项式为 $1 + 44x^{18} + 30x^{21} + 6x^{24}$。