[论文解读] A Class of Two-Weight and Three-Weight Codes and Their Applications in Secret Sharing

Kelan Ding, Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 10

一句话总结

本论文通过将迹函数 Tr(x²) = 0 作为定义集，在 GF(p) 上构造了一类两权和三权线性码，所得码具有最优或近似最优参数。主要贡献在于将这些码应用于秘密共享方案，其对偶码产生极小码字和结构良好的访问结构，尤其当 m ≥ 5 或 m ≥ 6 时表现显著。

ABSTRACT

In this paper, a class of two-weight and three-weight linear codes over $\gf(p)$ is constructed, and their application in secret sharing is investigated. Some of the linear codes obtained are optimal in the sense that they meet certain bounds on linear codes. These codes have applications also in authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs, in addition to their applications in consumer electronics, communication and data storage systems.

研究动机与目标

• 通过迹函数构造 GF(p) 上新的两权与三权线性码类。
• 研究这些码在具有结构化访问控制的秘密共享方案中的应用。
• 证明这些码满足线性码的已知界或达到最优参数。
• 探索与强正则图、关联方案及认证码的联系。
• 展示这些码的完整权重分布可通过高斯和推导，从而支持进一步的密码学应用。

提出的方法

• 将码 CD 定义为所有向量 (Tr(xd₁), ..., Tr(xdn)) 的集合，其中 x ∈ GF(q)，且 D = {x ∈ GF(q)* : Tr(x²) = 0}。
• 利用迹函数 Tr: GF(q) → GF(p) 及二次型的性质推导权重分布。
• 运用高斯和计算码的完整权重分布，这对认证码构造至关重要。
• 分析对偶码中码字的极小性，以确定秘密共享方案中的访问结构。
• 通过消去 GF(p)*-等价关系对原始码进行删减，得到权重分布更简单的短码。
• 证明当 m ≥ 5（奇数）或 m ≥ 6（偶数）时，对偶码中所有非零码字均为极小码字，从而确保访问结构定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 x² 的迹函数在 GF(p) 上构造一类两权与三权码？
• RQ2 这些码在最小距离与大小方面是否达到最优或近似最优参数？
• RQ3 这些码的完整权重分布是什么？是否可通过高斯和计算？
• RQ4 这些线性码的对偶码如何导致具有极小访问结构的秘密共享方案？
• RQ5 这些码能否用于构造新型认证码、关联方案或强正则图？

主要发现

• 当奇数 m > 1 时，码 CD 的参数为 [p^{m-1} - 1, m]，具有三个非零权重，其权重分布已在表 I 中明确计算。
• 当偶数 m ≥ 2 时，码 CD 的参数为 [p^{m-1} - (-1)^{(p-1)²m/4} (p-1)p^{(m-2)/2} - 1, m]，其权重分布见表 II。
• 删减码 C_D̄ 的参数为 [(p^{m-1} - 1)/(p - 1), m]，其权重分布见表 III（当奇数 m > 1 时）。
• 当 m ≥ 5 时，对偶码 C_D̄⊥ 中所有非零码字均为极小码字，从而形成包含 p^{m-2} 名参与者的秘密共享方案，且具有 p^{m-1} 个极小访问集。
• 在例 5 中，当 p = 5，m = 5 时，该方案包含 125 名参与者，625 个极小访问集，每位参与者属于 500 个此类访问集。
• 这些码在意义下为最优，即满足已知线性码的界，且其完整权重分布可通过高斯和推导。