[论文解读] A Classical Family of Elliptic Curves having Rank One and the $2$-Primary Part of their Tate-Shafarevich Group Non-Trivial

Yukako Kezuka, Yongxiong Li|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 1

一句话总结

该论文在 $p \equiv 2$ 或 $5 \pmod{9}$ 时，证明了椭圆曲线 $C_{2p}: x^3 + y^3 = 2p$ 和 $C_{2p^2}: x^3 + y^3 = 2p^2$ 的 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想的 3 部分，并建立了这些曲线的 2-Selmer 群与 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ 的理想类群 2-秩之间的精确联系。其主要贡献在于构造了具有非平凡 2-主部分 Tate–Shafarevich 群的秩为一的椭圆曲线的显式族。

ABSTRACT

We study elliptic curves of the form $x^3+y^3=2p$ and $x^3+y^3=2p^2$ where $p$ is any odd prime satisfying $p\equiv 2\bmod 9$ or $p\equiv 5\bmod 9$. We first show that the $3$-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture holds for these curves. Then we relate their $2$-Selmer group to the $2$-rank of the ideal class group of $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ to obtain some examples of elliptic curves with rank one and non-trivial $2$-part of the Tate-Shafarevich group.

研究动机与目标

• 该论文旨在证明个体曲线 $C_{2p}$ 和 $C_{2p^2}$ 的 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想的 3 部分，而非仅证明其乘积的版本。
• 它试图建立这些椭圆曲线的 2-Selmer 群与纯三次域 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ 的理想类群 2-秩之间的理论联系。
• 其目标是构造 $\mathbb{Q}$ 上秩为一且具有非平凡 2-主部分 Tate–Shafarevich 群的椭圆曲线的显式族。
• 它旨在提供一个理论框架，解释此类曲线的存在性，而这些曲线此前仅通过数值计算得知。

提出的方法

• 作者引入了‘模 3 的显式 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想’，以在求和中分离个体 L-值，从而克服 Zhao 平均方法的局限性。
• 他们利用 Deuring 定理与模符号，证明了在 $s=1$ 处，L-函数的代数部分在归一化为 $\Omega_n = \Omega / \sqrt{3} \cdot n^{1/3}$ 后具有有理性和整性。
• 3 部分 BSD 的证明依赖于通过模 3 同余分析个体 L-值的 3-adic 赋值。
• 对于 2 部分，作者应用 Kummer 理论与 2-奇偶性猜想，将 $C_{2p}$ 或 $C_{2p^2}$ 的 2-Selmer 群与 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ 的理想类群 2-秩联系起来。
• 他们定义了 $L^\times / (L^\times)^2$ 中的子群 $N_1 \subseteq \mathrm{Sel}_2(E) \subseteq N_2$，分别对应无分支的 2-扩张与平方模为 1 的主理想。
• 通过 Dirichlet 单位定理与 $\mathrm{Cl}(L)/2\mathrm{Cl}(L)$ 的结构，利用 $\mathrm{Cl}(L)[2]$ 的 2-秩与单位群计算 2-Selmer 群的维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \equiv 2$ 或 $5 \pmod{9}$ 时，Birch–Swinnerton-Dyer 猜想的 3 部分是否对每个个体曲线 $C_{2p}$ 和 $C_{2p^2}$ 成立？
• RQ2 曲线 $C_{2p}$ 或 $C_{2p^2}$ 的 2-Selmer 群与 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ 的理想类群 2-秩之间是否存在精确关系？
• RQ3 该关系能否用于构造秩为一且具有非平凡 2-主部分 Tate–Shafarevich 群的椭圆曲线？
• RQ4 是否存在无穷多条此类曲线，或能否给出其存在的密度估计？
• RQ5 在标准平均方法仅控制总和的情况下，能否将个体 L-值的 3-adic 赋值从总和中分离出来？

主要发现

• 当 $p \equiv 2$ 或 $5 \pmod{9}$ 时，$C_{2p}$ 和 $C_{2p^2}$ 的 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想的 3 部分成立，且在 $s=1$ 处 L-值非零。
• 当 $p \equiv 5 \pmod{9}$ 时，代数 L-值满足 $L(C_{2p},1)/(3\Omega_{2p}) \equiv L(C_{2p^2},1)/(3\Omega_{2p^2}) \equiv 1 \pmod{3}$。
• 当 $p \equiv 2 \pmod{9}$ 时，同余式 $L(C_{2p^2},1)/(3\Omega_{2p^2}) \equiv L(C_{2p},1)/(3\Omega_{2p}) \equiv 1 \pmod{3}$ 成立。
• 曲线 $C_{2p}$（相应地 $C_{2p^2}$）的 2-Selmer 群维数为 $k$ 或 $k+1$，其中 $k = \mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})))$，具体取决于根数的符号。
• 当 $p \equiv 2 \pmod{9}$ 时，曲线 $C_{2p}$ 的秩为一且 $X(C_{2p})[2]$ 非平凡，当且仅当 $\mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p}))) \geq 2$。
• 数值证据表明，在 $p < 10^6$ 的范围内，13,099 个满足 $p \equiv 2 \pmod{9}$ 的素数中有 1852 个，13,068 个满足 $p \equiv 5 \pmod{9}$ 的素数中有 1629 个满足 $\mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p}))) \geq 2$，表明此类曲线大量存在。