[论文解读] A classical history theory: Geometrodynamics and general field dynamics regained

I Kouletsis|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 1998

History and Theory of Mathematics参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种经典历史理论，其中仅通过共轭变量重建了几何动力学与广义场动力学，将等时泊松括号替换为一般时间括号。通过在不引入额外假定的情况下推导哈密顿代数与约束，该理论建立了一个路径无关、协变的形式体系，推广了先前的方法，并为经典场论中的历史依赖动力学提供了基础。

ABSTRACT

Assuming that the Hamiltonian of a canonical field theory can be written in the form N H + N^i H_i, and using as the only input the actual choice of the canonical variables, we derive: (i) The algebra satisfied by H and H_i, (ii) any constraints, and (iii) the most general canonical representation for H and H_i. This completes previous work by Hojman, Kuchar and Teitelboim who had to impose a set of additional postulates, among which were the form of the canonical algebra and the requirement of path-independence of the dynamical evolution. A prominent feature of the present approach is the replacement of the equal-time Poisson bracket with one evaluated at general times. The resulting formalism is therefore an example of a classical history theory -- an interesting fact, especially in view of recent work by Isham et al.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖于人为假设（如路径无关性或预设代数结构）的经典场论共轭形式体系。
• 使用一般时间泊松括号形式体系，而非等时括号，重新表述几何动力学与广义场动力学。
• 仅从共轭变量出发，推导出哈密顿约束与动量约束的最一般共轭表示。
• 通过消除对额外假设的依赖，完成并推广霍尔曼、库查尔与泰特尔博伊姆的前期工作。

提出的方法

• 形式体系从共轭哈密顿量表达式 N H + N^i H_i 开始，其中 N 和 N^i 分别为时间膨胀函数与位移函数。
• 采用一般时间泊松括号结构，取代标准的等时括号，以允许历史依赖的动力学。
• 仅以共轭变量的选择作为输入，直接从共轭结构推导出 H 与 H_i 的代数关系。
• 通过哈密顿约束与动量约束生成的时间演化的一致性条件，系统地识别出约束。
• 该方法避免事先假设路径无关性或共轭代数的形式，而是从共轭变量本身推导出这些性质。
• 所得形式体系具有明显的协变性，并以基本变量完全表示了共轭动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能仅从共轭变量的选择出发，不依赖额外假定，推导出经典场论的共轭代数与约束？
• RQ2 如何通过一般时间括号在共轭场论中实现路径无关、协变的动力学？
• RQ3 在最小假设下，哈密顿约束与动量约束的最一般共轭表示是什么？
• RQ4 将等时泊松括号替换为一般时间括号，对几何动力学的结构有何影响？
• RQ5 能否在不预先假定代数形式或路径无关性的情况下，完成霍尔曼、库查尔与泰特尔博伊姆的形式体系？

主要发现

• 本文直接从共轭变量出发推导出哈密顿约束与动量约束所满足的代数关系，未预先假设其形式。
• 识别出 H 与 H_i 的最一般共轭表示，表明其结构完全由共轭变量唯一确定。
• 该形式体系将等时泊松括号替换为一般时间括号，从而导出一致的经典历史理论。
• 所得动力学具有路径无关性与协变性，满足广义场动力学的要求，且无需额外假定。
• 该方法通过消除其对辅助假设的依赖，推广并完成了霍尔曼、库查尔与泰特尔博伊姆的前期工作。
• 该理论基于纯粹的共轭结构与时间切片演化，为几何动力学与场动力学提供了新基础。