[论文解读] A Classification of (2+1)D Topological Phases with Symmetries

Tian Lan|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用 4

一句话总结

本文利用三层范畴框架，对具有有限局部单位对称性的(2+1)D拓扑序进行了完整分类：用对称融合范畴（Rep(G) 或 sRep(G^f)）描述局部激发，用幺正辫子融合范畴（UMTC_{/E}）描述任意子，用最小模扩展（M）描述规范场论，通过加入中心电荷 c 来解决歧义。该分类同时涵盖了体任何子和受保护的边界态，包括对称保护拓扑（SPT）相和 E8 相。

ABSTRACT

This thesis aims at concluding the classification results for topological phases with symmetry in 2+1 dimensions. The main result is that topological phases are classified by a triple of unitary braided fusion categories $\mathcal E\subset\mathcal C\subset\mathcal M$ plus the chiral central charge $c$. Here $\mathcal E$ is a symmetric fusion category, $\mathcal E=\mathrm{Rep}(G)$ for boson systems or $\mathcal E=\mathrm{sRep}(G^f)$ for fermion systems, consisting of the representations of the symmetry group and describing the local excitations with symmetry; $\mathcal C$ is the category of all the quasiparticle excitations in the bulk, containing $\mathcal E$ as its Müger center; $\mathcal M$ is a minimal modular extension of $\mathcal C$, that also includes the gauged symmetry defects. We also study the stacking of topological phases with symmetry and two types of anyon condensations based on such classification.

研究动机与目标

• 完成对具有有限局部单位对称性的(2+1)D拓扑序的完整分类，超越朗道对称性破缺理论。
• 将体激发准粒子与受保护的边界态统一纳入一个数学框架。
• 解决边界物理中的歧义，特别是像 E8 相这样无体激发但具有非平凡边界中心电荷的相。
• 在范畴框架下统一描述拓扑序、对称性丰富化与 SPT 相。
• 通过任意子凝聚与模扩展，实现对叠加与相变的系统研究。

提出的方法

• 使用对称融合范畴分类局部激发：对玻色子系统为 Rep(G)，对费米子系统为 sRep(G^f)。
• 将所有准粒子激发建模为具有 Müger 中心等于 E 的幺正辫子融合范畴 C，形成 UMTC_{/E}。
• 规范对称性以获得 C 的最小模扩展 M，描述无剩余对称性的完全规范场论。
• 利用 M 的中心电荷 c 区分仅靠范畴数据无法区分的相，如 E8 相。
• 应用任意子凝聚将相分组为等价类，并描述拓扑相变。
• 通过叠加操作推导出已知分类，例如从 Rep(G) 的模扩展得到 H^3(G,U(1)) 对玻色子 SPT 相的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对称性破缺理论之外，对具有有限局部单位对称性的(2+1)D拓扑序实现完整分类？
• RQ2 中心电荷 c 在区分仅靠范畴数据无法区分的拓扑相（如 E8 相）中起什么作用？
• RQ3 对称融合范畴的模扩展如何捕捉包括 SPT 相与可逆相在内的拓扑序的完整结构？
• RQ4 任意子凝聚与叠加操作如何揭示不同拓扑相之间的关系并描述相变？
• RQ5 该分类框架能否扩展至包含非单位、连续或时空对称性？

主要发现

• 具有对称性的拓扑序由三元组 (E ⊂ C ⊂ M, c) 分类，其中 E = Rep(G) 或 sRep(G^f)，C 为 UMTC_{/E}，M 为 C 的最小模扩展。
• 中心电荷 c 解决了 E8 相的歧义，该相虽无体任何子，但具有 c = 8 的手征边界。
• 该分类通过 Rep(G) 的模扩展的叠加操作，重现了已知的玻色子 SPT 相的 H^3(G,U(1)) 分类。
• 该框架通过 sRep(G^f) 的模扩展预测了具有对称性的可逆费米子相的分类。
• 结构 C 决定了拓扑序（至可逆相之外），表明非可逆数据可完全分类非平凡的拓扑序。
• 任意子凝聚揭示了拓扑相的等价类，并对应于拓扑相变，从而实现系统的分类与相图构建。