[论文解读] A classification of 5-dimensional manifolds, souls of codimension two and non-diffeomorphic pairs

Sadeeb Ottenburger|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文对基本群为 $\mathbb{Z}/r$（$r > 1$ 且与六互素）的纤维化于 $S^2 \times S^2$ 的五维流形进行分类，并在某些 lens 空间上复线丛的全空间上构造了无穷多组完备的非负截面曲率度量。关键结果是存在流形，其上存在无穷多组此类度量，且其两两不同胚的余维二灵魂，从而解决了在曲率约束下非微分同胚灵魂对的存在性问题。

ABSTRACT

Let T(γ) be the total space of the canonical line bundle γover CP^1 and r an integer which is greater than one and coprime to six. We prove that L_r^3 imes T(γ) admits an infinite sequence of metrics of nonnegative sectional curvature with pairwise non-homeomorphic souls, where L_r^3 is the standard 3-dimensional lens space with fundamental group isomorphic to Z/r. We classify the total spaces of S^1-fibre bundles over S^2 imes S^2 with fundamental group isomorphic to Z/r up to diffeomorphism and use these results to give examples of manifolds N which admit two complete metrics of nonnegative sectional curvature with souls S and S' of codimension two such that S and S' are diffeomorphic whereas the pairs (N,S) and (N,S') are not diffeomorphic. This solves a problem posed by I. Belegradek, S. Kwasik and R. Schultz.

研究动机与目标

• 对基本群为 $\mathbb{Z}/r$ 的 $S^1$-纤维丛全空间在 $S^2 \times S^2$ 上的微分同胚类型进行分类，其中 $r > 1$ 且与六互素。
• 构造五维流形的例子，其上存在无穷多组完备的非负截面曲率度量，且其两两非同胚的灵魂为余维二。
• 解决 Belegradek、Kwasik 和 Schultz 提出的问题：在非负曲率条件下，是否存在非微分同胚的灵魂对。
• 建立与 $L^{a,b}$ 同伦等价的五维流形的分类定理，其基本群同构于 $\mathbb{Z}/r$，使用 $\rho$-不变量和 Reidemeister torsion。

提出的方法

• 使用手术理论和简单结构集中的分类结果，对基本群同构于 $\mathbb{Z}/r$ 的五维流形进行微分同胚分类。
• 应用 Grove 与 Ziller 关于在 $L^{a,b}$ 上复线丛全空间上存在非负曲率度量的结果，且其第一陈类为本原的。
• 采用 $\rho$-不变量和 Reidemeister torsion $\Delta(N)$ 作为不变量，以区分 $\mathcal{L}$ 中流形的微分同胚类型。
• 构造具有非平凡法不变量的自同伦等价，以证明某些上同调同构不能由微分同胚诱导。
• 使用法 $s$-cobordism 论证和参数同余，当在特定代数条件下假设存在微分同胚时导出矛盾。
• 利用 $\rho$-不变量在 $r^2 q \neq 0$ 时的单射性，排除某些微分同胚的可能性，从而证明非微分同胚的灵魂对的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在五维流形，其上存在无穷多组完备的非负截面曲率度量，且其两两非同胚的灵魂为余维二？
• RQ2 同一流形上是否存在两组完备的非负曲率度量，其灵魂微分同胚但灵魂对非微分同胚？
• RQ3 当基本群 $\mathbb{Z}/r$ 满足存在单位 $s$ 使得 $s^2 = -1$ 或 $s^3 = 1$ 时，这些代数条件如何影响灵魂对的微分同胚类型？
• RQ4 在 $L_r^3 \times T(\gamma)$ 上，非负曲率度量的模空间是否在路径分量意义下为无穷维？
• RQ5 若流形 $M$ 上存在非负曲率度量，是否意味着任意与之单连通同伦等价的流形 $N$ 上也存在此类度量？

主要发现

• 流形 $L_r^3 \times T(\gamma)$，其中 $L_r^3$ 是基本群同构于 $\mathbb{Z}/r$ 的 lens 空间，存在一列无穷多组完备的非负截面曲率度量，其两两非同胚的灵魂。
• 模空间 $\mathfrak{M}^{c}_{\text{sec} \geq 0}(L_r^3 \times T(\gamma))$ 有无穷多条路径分量，意味着这些灵魂无法通过度量的连续路径连接。
• 当 $r = 5$ 时，存在单位 $s = 2$ 满足 $s^2 = -1$ 在 $\mathbb{Z}/5$ 中，由此导出非微分同胚灵魂对的例子，从而解决了文献 [BKS1-09] 中的 Problem 4.9。
• 分类定理（定理 4）指出：两个基本群同构于 $\mathbb{Z}/r$ 的五维流形 $N$ 与 $N'$ 微分同胚当且仅当存在一个保持定向的同伦等价 $h$，使得 $\rho(h_*(g),N) = \rho(g,N')$ 且 $\Delta(N) \sim \Delta(N')$。
• 当 $r$ 无非平凡单位满足 $s^3 = 1$ 且 $q$ 不被 $r$ 整除时，$(N^{r,qr}_x, S)$ 与 $(N^{r,qr}_{x'}, S')$ 微分同胚当且仅当 $S$ 与 $S'$ 微分同胚，表明在此情形下具有刚性。
• 存在具有非平凡法不变量的自同伦等价，其不能由微分同胚实现，这意味着某些上同调同构不能由微分同胚诱导，从而导致非微分同胚的灵魂对。