[论文解读] A classification of Artin-Schreier defect extensions and a characterization of defectless fields

Franz‐Viktor Kuhlmann|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文通过利用一个由次数为 p 的纯不可约代数扩张导出的生成元 ϑ，建立了一个判断依赖性缺陷扩张存在的准则，从而对赋值域中的 Artin-Schreier 缺陷扩张进行了分类。关键结果表明，此类缺陷扩张存在的充要条件是涉及 η 到 K 的距离与 b 的赋值的赋值不等式成立，其中 ϑ 到 K 的距离由包含 v(b) 和 dist(η, K) 的公式精确确定。

ABSTRACT

We classify Artin-Schreier extensions of valued fields with non-trivial defect according to whether they are connected with purely inseparable extensions with non-trivial defect, or not. We use this classification to show that in positive characteristic, a valued field is algebraically complete if and only if it has no proper immediate algebraic extension and every finite purely inseparable extension is defectless. This result is an important tool for the construction of algebraically complete fields. We also consider extremal fields (= fields for which the values of the elements in the images of arbitrary polynomials always assume a maximum). We characterize inseparably defectless, algebraically maximal and separable-algebraically maximal fields in terms of extremality, restricted to certain classes of polynomials. We give a second characterization of algebraically complete fields, in terms of their completion. Finally, a variety of examples for Artin-Schreier extensions of valued fields with non-trivial defect is presented.

研究动机与目标

• 对具有非平凡缺陷的赋值域中的 Artin-Schreier 缺陷扩张进行分类。
• 刻画一个域在何种条件下可接受一个依赖性 Artin-Schreier 缺陷扩张。
• 建立初始元素 η 到 K 的距离与由此导出的 Artin-Schreier 生成元 ϑ 到 K 的距离之间的精确关系。
• 通过赋值理论条件，提供此类缺陷扩张存在的判别准则。

提出的方法

• 给定一个次数为 p 的立即纯不可约扩张 K(η)|K，其中 η ∉ K_c，定义 ε := dist(η, K) 为 η 到 K 的代数闭包的距离。
• 对任意 b ∈ K×，考虑条件 (p−1)vb + vη > pε，该条件决定是否存在依赖性 Artin-Schreier 缺陷扩张。
• 构造一个生成元 ϑ，使得 ϑ^p − ϑ = (η/b)^p，确保 ϑ 在 K 上生成一个 Artin-Schreier 扩张。
• 证明 dist(ϑ, K) = dist(η, K) − vb，将新生成元的距离与 b 的赋值及原始距离联系起来。
• 使用赋值理论工具分析缺陷，并证明所有此类扩张均为依赖性扩张。
• 在具有非平凡缺陷的赋值域背景下，应用立即扩张理论与 Artin-Schreier 理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，赋值域 K 可接受一个依赖性 Artin-Schreier 缺陷扩张？
• RQ2 Artin-Schreier 生成元 ϑ 到 K 的距离与初始元素 η 的距离及 b 的赋值之间有何关系？
• RQ3 何种赋值不等式刻画了此类缺陷扩张存在的条件？
• RQ4 通过此方法构造的所有 Artin-Schreier 缺陷扩张是否均可被分类为依赖性？
• RQ5 立即纯不可约扩张的结构与缺陷扩张的构造之间有何关联？

主要发现

• 依赖性 Artin-Schreier 缺陷扩张 K(ϑ)|K 存在的充要条件是：对某个 b ∈ K×，不等式 (p−1)vb + vη > pε 成立。
• Artin-Schreier 生成元 ϑ 到 K 的距离精确为 dist(ϑ, K) = dist(η, K) − vb。
• 通过此方法构造的所有 Artin-Schreier 缺陷扩张均为依赖性扩张，即它们源于扩张中的非平凡缺陷。
• 该构造通过 b 的赋值与 η 到 K 的距离，实现了对这类缺陷扩张的完整分类。
• 该结果在基域的赋值理论性质与缺陷扩张的存在性之间建立了精确联系。
• 该方法为无缺陷域提供了一个判别准则：在给定条件下，此类缺陷扩张不存在。