[论文解读] A Classification of Deterministic Hunt Processes with Some Applications

Alexander Schnurr|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文通过表征生成路径，对 ℝ 上的确定性 Hunt 过程进行分类，证明了每一类此类过程均可由可数个严格递增、双射函数族生成。主要贡献在于构造了一个 ℝ 上的 Hunt 半鞅，其并非 Cinlar 等人（1980）定义意义上的 Itô 过程，从而解决了关于 Itô 过程类在 Hunt 半鞅中是否严格的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Deterministic processes form an important building block of several classes of processes. We provide a method to classify deterministic Hunt processes. Within this framework we characterize different subclasses (e.g. Feller) and construct some (counter-)examples. In particular the existence of a Hunt semimartingale (on R) which is not an Itô process in the sense of Cinlar, Jacod, Protter and Sharpe (1980) is proven.

研究动机与目标

• 通过生成路径为实直线上的确定性 Hunt 过程提供一个分类框架。
• 在确定性 Hunt 框架内表征子类，如 Feller 过程和丰富 Feller 过程。
• 构造反例以证明并非所有 Hunt 半鞅都是 Itô 过程。
• 阐明在确定性动力学背景下 Hunt 过程、半鞅与 Itô 过程之间的关系。
• 研究路径正则性与变差在决定确定性过程半鞅性质中的作用。

提出的方法

• 通过 ℝ → ℝ 上的双射、严格递增生成函数 Φ: ℝ → ℝ 定义确定性 Hunt 过程，其中 Xₜˣ = Φ(t + Φ⁻¹(x))。
• 证明 ℝ 上的每个确定性 Hunt 过程均可分解为可数个互不相交区间的并集，每个区间由不同的生成路径控制。
• 使用符号和半鞅特征分析过程结构，尤其关注漂移分量。
• 应用随机时间变换理论，证明每个 Hunt 过程均可表示为时间变换后的 Itô 过程，其基过程为一个确定性 Lévy 过程。
• 运用精细连续符号和生成元定义域的概念，检验丰富性与 Feller 性质。
• 通过分段线性函数和奇异函数（如康托函数）的显式构造，测试半鞅与 Itô 过程条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℝ 上的确定性 Hunt 过程能否通过一族生成路径被完全分类？
• RQ2 ℝ 上的每个 Hunt 半鞅是否必然属于 Cinlar、Jacod、Protter 和 Sharpe（1980）定义的 Itô 过程类？
• RQ3 在何种条件下，确定性 Hunt 过程为 Feller 或丰富过程？
• RQ4 确定性 Hunt 过程是否可能不是半鞅，若否，其路径正则性条件为何？
• RQ5 半鞅特征与符号如何与确定性过程的底层生成函数相关联？

主要发现

• ℝ 上的每个确定性 Hunt 过程均由可数个双射、严格递增函数族生成，每个函数在互不相交的区间上定义动力学。
• 使用康托函数作为生成路径构造的康托过程是 Feller 过程，但非丰富过程，因此也非 Itô 过程。
• Hunt 半鞅不一定是 Itô 过程；本文显式构造了此类过程，证明了 Itô 类在 Hunt 半鞅中的严格包含关系。
• 由具有无限变差的生成路径（例如在紧集上变差无限的 f(t)）定义的过程即使为 Hunt 过程，也非半鞅。
• 确定性过程的符号为 p(x,ξ) = -ib(x)ξ，其中 b(x) 为路径的局部速度，该符号是精细连续的，但不一定是连续的。
• 即使漂移系数在 x 上不连续（例如 sign(x)），只要其为精细连续，确定性过程仍可为 Itô 过程。