[论文解读] A classification of pure states on quantum spin chains satisfying the split property with on-site finite group symmetries

Yoshiko Ogata|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文对在局域有限群对称性下不变的量子自旋链上的纯分裂态进行分类，表明与之相关的广义表示的第二上同调类是在对称性保持的准等价关系下完整的不变量。该分类同时考虑了纠缠和对称性保护，揭示了此类态并不总能通过对称自同构连接，而上同调类则捕捉了这一障碍。

ABSTRACT

We consider a set $SPG(\mathcal{A})$ of pure split states on a quantum spin chain $\mathcal{A}$ which are invariant under the on-site action $τ$ of a finite group $G$. For each element $ω$ in $SPG(\mathcal{A})$ we can associate a second cohomology class $c_{ω,R}$of $G$. We consider a classification of $SPG(\mathcal{A})$ whose criterion is given as follows: $ω_{0}$ and $ω_{1}$ in $SPG(\mathcal{A})$ are equivalent if there are automorphisms $Ξ_{R}$, $Ξ_L$ on $\mathcal{A}_{R}$, $\mathcal{A}_{L}$ (right and left half infinite chains) preserving the symmetry $τ$, such that $ω_{1}$ and $ω_{0}\circ( Ξ_{L}\otimes Ξ_{R})$ are quasi-equivalent. It means that we can move $ω_{0}$ close to $ω_{1}$ without changing the entanglement nor breaking the symmetry. We show that the second cohomology class $c_{ω,R}$ is the complete invariant of this classification.

研究动机与目标

• 对在局域有限群对称性下不变的、满足分裂性质的量子自旋链上的纯态进行分类。
• 确定此类态是否能通过左右半链上保持对称性的自同构连接，且不改变其纠缠结构。
• 识别该分类的完整不变量，以捕捉由群对称性引起的拓扑障碍。
• 阐明第二上同调类在表征量子自旋链中对称性保护拓扑相中的作用。

提出的方法

• 本文定义了在有限群 $G$ 的局域作用下不变的纯分裂态集合 $SPG({\tilde{A}})$。
• 对每个态 $\omega \in SPG({\tilde{A}})$，构造其作为 $G$ 的广义表示，并关联一个第二上同调类 $c_{\omega,R} \in H^2(G, \mathbb{C}^*)$。
• 引入一种等价关系：若存在保持对称性的左右半链自同构 $\Xi_L$、$\Xi_R$，使得 $\omega_1 \sim_{q.e.} \omega_0 \circ (\Xi_L \otimes \Xi_R)$，则称 $\omega_0$ 与 $\omega_1$ 等价。
• 利用渐近内自同构和准等价的结果，将态的结构与上同调不变量联系起来。
• 应用 $C^*$-代数理论中的技术，包括 Glimm 引理和 Kadison 可迁性定理，以建立态和酉算符的逼近性质。
• 证明第二上同调类 $c_{\omega,R}$ 是 $SPG({\tilde{A}})$ 上所定义等价关系的完整不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何两个在量子自旋链上具有对称性的纯分裂态，是否都能通过左右半链上保持对称性的自同构连接，且不改变其纠缠结构？
• RQ2 当施加对称性时，何种拓扑或代数不变量能捕捉这种连接的障碍？
• RQ3 群 $G$ 的第二上同调类如何自然地从满足分裂性质的对称纯态结构中产生？
• RQ4 第二上同调类 $c_{\omega,R}$ 是否足以在所定义的等价关系下对所有此类对称纯分裂态进行分类？
• RQ5 分裂性质在多大程度上限制了量子自旋链中可能存在的对称性保护拓扑相？

主要发现

• 在对称性保持的准等价关系下，第二上同调类 $c_{\omega,R} \in H^2(G, \mathbb{C}^*)$ 是对称纯分裂态分类的完整不变量。
• 并非所有对称纯分裂态都能通过半链上的对称自同构连接，表明存在非平凡的拓扑障碍。
• 通过保持对称性的自同构连接态的障碍，完全由与态的广义表示相关的群 $G$ 的第二上同调类所捕捉。
• 该分类表明，量子自旋链中的对称性保护拓扑相由 $H^2(G, \mathbb{C}^*)$ 分类，推广了凝聚态物理学中群上同调的概念。
• 该结果建立了 $C^*$-代数代数结构与具有全局对称性的量子多体系统拓扑不变量之间的精确联系。
• 本文证实，分裂性质确保了左右链之间具有小的纠缠，且保持对称性的自同构保持了这种纠缠结构。