[论文解读] A classification of radial and totally geodesic ends of properly convex real projective orbifolds

Suhyoung Choi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 64被引用 6

一句话总结

该论文通过分析Holonomy表示的特征值条件，对强不可约、拟凸的n维实射影n-轨道丛中的径向端和全测地端进行了分类。利用仿射流形、平坦洛伦兹几何和黎曼叶状结构的技巧，证明在适当条件下仅可能出现透镜型或水平球面型端，从而实现了对这类端的完整拓扑与动力分类。

ABSTRACT

Real projective structures on $n$-orbifolds are useful in understanding the space of representations of discrete groups into $SL(n+1, \mathbb{R})$ or $PGL(n+1, \mathbb{R})$. A recent work shows that many hyperbolic manifolds deform to manifolds with such structures not projectively equivalent to the original ones. The purpose of this paper is to understand the structures of ends of real projective $n$-dimensional orbifolds. In particular, these have the radial or totally geodesic ends. Hyperbolic manifolds with cusps and hyper-ideal ends are examples. For this, we will study the natural conditions on eigenvalues of holonomy representations of ends when these ends are manageably understandable. The main techniques are the theory of Fried and Goldman on affine manifolds, a generalization of the work of Goldman, Labourie, and Margulis on flat Lorentzian $3$-manifolds and the work on Riemannian foliations by Molino, Carrière, and so on. We will show that only the radial or totally geodesic ends of lens type or horospherical ends exist for strongly irreducible properly convex real projective orbifolds under the suitable conditions.

研究动机与目标

• 对强不可约、拟凸的实射影n-轨道丛中的径向端与全测地端类型进行分类。
• 通过Holonomy表示理解实射影轨道丛中端的几何与动力结构。
• 在Holonomy群的统一中间特征值条件下，确定哪些端类型——透镜形或水平球面形——可以出现。
• 将双曲几何与仿射几何的结果推广至轨道丛上实射影结构的更广泛背景。
• 通过$\mathbb{S}^n$中不变凸区域及其边界，提供端的拓扑与几何表征。

提出的方法

• 通过特征值条件，特别是统一中间特征值条件，分析轨道丛端的Holonomy表示。
• 应用Fried与Goldman关于仿射流形的理论，研究实射影结构中端的几何。
• 将Goldman、Labourie与Margulis在平坦洛伦兹3-流形上的技巧推广至高维实射影轨道丛。
• 利用Molino与Carrière的黎曼叶状结构理论，分析无穷远处边界与端行为的结构。
• 构造包含无穷远处边界$\Omega$的$\Gamma$-不变凸区域$L \subset \mathbb{S}^n$，形成透镜形邻域。
• 应用Hilbert度量与管状邻域论证，证明在$V/\Gamma$中存在$\Omega/\Gamma$的严格凸紧邻域$W'$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强不可约、拟凸的实射影n-轨道丛中，哪些类型的端——径向或全测地——可能出现？
• RQ2 在Holonomy表示的何种特征值条件下，会生成透镜型或水平球面型端？
• RQ3 能否在$\mathbb{S}^n$中构造一个$\Gamma$-不变的、包含$\Omega$且边界严格凸的拟凸开区域$L$？
• RQ4 在$\partial\Omega$处渐近全测地超平面$h(x)$如何决定端的结构？
• RQ5 对径映射与开半球面交集在构造$\Omega$的凸邻域中的作用是什么？

主要发现

• 在统一中间特征值条件下，强不可约、拟凸的实射影轨道丛中仅可能出现透镜型或水平球面型端。
• 对每个$x \in \partial\Omega$，存在唯一的渐近全测地超平面$h(x)$，且映射$x \mapsto h(x)$是连续的。
• 存在一个$\Gamma$-不变的、严格凸的开区域$L \subset \mathbb{S}^n$，包含$\Omega$，并位于$\Omega$的一侧邻域内，形成透镜形邻域。
• 所构造区域$W'$的边界是严格凸的，且与紧致商$\Omega/\Gamma$保持正距离，从而确保了管状邻域的紧致性。
• 若初始区域$V = \bigcap_{x \in \partial\Omega} H'(x)$不是拟凸的，则可通过包含$\overline{\Omega}$的开半球面的交集构造一个新的$\Gamma$-不变拟凸区域。
• 在$V/\Gamma$中存在$\Omega/\Gamma$的紧致管状邻域$M$，意味着$\Omega/\Gamma$到$\partial M/\Gamma$的距离为正，从而可构造严格凸的$W'$。