[论文解读] A Classification of Riemannian manifolds of quasi-constant sectional curvatures

Georgi Ganchev, Vesselka Mihova|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过证明具有正水平截面曲率的黎曼流形（QC-流形）在局部上同构于欧氏空间中的横截曲面，而具有负曲率的流形则在局部上同构于闵可夫斯基空间中的横截类空曲面，对具有拟常数截面曲率的黎曼流形进行了分类。其主要贡献在于建立了欧氏空间或闵可夫斯基空间中共形平坦曲面的局部理论与QC-流形之间的等价性，从而实现了对这些曲面的完整局部几何分类。

ABSTRACT

Riemannian manifolds of quasi-constant sectional curvatures (QC-manifolds) are divided into two basic classes: with positive or negative horizontal sectional curvatures. We prove that the Riemannian QC-manifolds with positive horizontal sectional curvatures are locally equivalent to canal hypersurfaces in Euclidean space, while the Riemannian QC-manifolds with negative horizontal sectional curvatures are locally equivalent to canal space-like hypersurfaces in Minkowski space. We prove that the local theory of conformally flat Riemannian manifolds, which can be locally isometrically embedded as hypersurfaces in Euclidean or Minkowski space, is equivalent to the local theory of Riemannian QC-manifolds. These results give a local geometric classification of conformally flat hypersurfaces in Euclidean space and conformally flat space-like hypersurfaces in Minkowski space.

研究动机与目标

• 基于其水平截面曲率的符号，对具有拟常数截面曲率的黎曼流形（QC-流形）进行分类。
• 建立欧氏空间中共形平坦曲面与具有正水平曲率的QC-流形之间的局部几何等价性。
• 将此等价性扩展至闵可夫斯基空间中的共形平坦类空曲面与具有负水平曲率的QC-流形。
• 为欧氏空间和闵可夫斯基空间中的共形平坦曲面提供完整的局部分类。

提出的方法

• 引入并分析欧氏空间 ℝⁿ⁺¹ 中的横截曲面以及闵可夫斯基空间 ℝⁿ⁺¹₁ 中的横截类空曲面，将其分为三类。
• 将QC-流形定义为黎曼流形 (M,g,ξ)，其截面曲率仅依赖于切平面与单位向量场 ξ 之间的夹角。
• 证明 ℝⁿ⁺¹（相应地，ℝⁿ⁺¹₁）中所有横截曲面均为具有正（相应地，负）水平截面曲率的QC-流形。
• 利用曲率张量分解 R = α²π + αβΦ（正曲率情形）或 R = -α²π - αβΦ（负曲率情形）来刻画QC-结构。
• 应用Cartan与Schouten关于共形平坦曲面的结果，推导第二基本形式与Ricci算子的结构。
• 证明：一个共形平坦黎曼流形若存在单位向量场 ξ，使得 (M,g,ξ) 构成QC-流形，当且仅当其Ricci算子具有至少 n-1 重的根。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有正水平截面曲率的黎曼QC-流形的局部几何结构是什么？
• RQ2 具有负水平截面曲率的黎曼QC-流形的局部几何结构是什么？
• RQ3 欧氏空间中的共形平坦曲面与QC-流形之间有何关系？
• RQ4 闵可夫斯基空间中的共形平坦类空曲面与QC-流形之间有何关系？
• RQ5 Ricci算子需满足何种条件，才能使一个共形平坦黎曼流形可局部等距嵌入到欧氏空间或闵可夫斯基空间？

主要发现

• 任何具有正水平截面曲率的黎曼QC-流形在局部上沿ξ同构于欧氏空间 ℝⁿ⁺¹ 中的横截曲面。
• 任何具有负水平截面曲率的黎曼QC-流形在局部上沿ξ同构于闵可夫斯基空间 ℝⁿ⁺¹₁ 中的横截类空曲面。
• 在无脐点条件下，欧氏空间 ℝⁿ⁺¹ 中的共形平坦曲面在局部上是横截曲面的一部分。
• 在无脐点条件下，闵可夫斯基空间 ℝⁿ⁺¹₁ 中的共形平坦类空曲面在局部上是横截类空曲面的一部分。
• 一个共形平坦黎曼流形可局部等距嵌入到 ℝⁿ⁺¹ 或 ℝⁿ⁺¹₁ 中，当且仅当其Ricci算子具有至少 n-1 重的根。
• 欧氏空间或闵可夫斯基空间中，共形平坦曲面的局部理论分别与具有正或负水平截面曲率的QC-流形的局部理论等价。