[论文解读] A classification of the irreducible mod-p representations of U(1,1)(Q_p^2/Q_p)

Karol Kozioł|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文对无ramified酉群U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)的光滑不可约模p表示进行了分类，区分了非超 cuspidal 与超 cuspidal 类型。它建立了半单Langlands参数的等价类与半单L-包的同构类之间的对应关系，通过显式参数化表示和Galois数据，为该群建立了模p局部Langlands对应。

ABSTRACT

Let p be a prime number. We classify all smooth irreducible mod-p representations of the unramified unitary group U(1,1)(Q_p^2/Q_p) in two variables. We then investigate Langlands parameters in characteristic p associated to U(1,1)(Q_p^2/Q_p), and propose a correspondence between certain equivalence classes of Langlands parameters and certain isomorphism classes of semisimple L-packets on U(1,1)(Q_p^2/Q_p).

研究动机与目标

• 对相对秩为1的p-adic半单群U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)的所有光滑不可约模p表示进行分类。
• 通过构造Galois参数与表示L-包之间的对应关系，将模p局部Langlands程序推广至酉群。
• 将GL₂(ℚ_p)与SL₂(ℚ_p)的结果推广至酉群情形，特别关注超 cuspidal 表示。
• 为U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)定义并分析特征p下的Langlands参数，包括其稳定性与等价类。
• 建立半单模p对应，将C-Galois参数的等价类与半单L-包的同构类联系起来。

提出的方法

• 利用𝔽̄_p上的pro-p-Iwahori-Hecke代数，通过有限维单模对不可约表示进行分类。
• 应用上同调技巧，并从SL₂(ℚ_p)限制，将导出子群的超 cuspidal 表示提升至U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)。
• 显式构造超 cuspidal 表示为(ω^k∘det)⊗π_r，其中0 ≤ r ≤ p−1且0 ≤ k < p+1。
• 定义取值于C-群^C G的Langlands参数φ_{k,ℓ}与ψ_{r,λ}，利用ℚ_p与ℚ_p²上的Galois作用及特征。
• 通过指数条件与对偶对分类参数的等价性，特别区分r ≡ −pr − (p+1) mod (p²−1)与λ′ = λ⁻¹的情形。
• 通过将参数类型与表示类型（超 cuspidal 与非超 cuspidal）匹配，建立半单Langlands参数与半单L-包之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)的光滑不可约模p表示进行完整分类，特别是区分超 cuspidal 与非超 cuspidal 类型？
• RQ2 U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)的L-包结构如何？它们与特征p下的Langlands参数有何关系？
• RQ3 U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)的Langlands参数在何种条件下等价？在何种条件下稳定？
• RQ4 SL₂(ℚ_p)的表示如何被提升至U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)？其超 cuspidal 表示的分类结果如何？
• RQ5 能否通过将Galois参数与L-包匹配，为U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)建立模p局部Langlands对应？

主要发现

• 所有U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)的光滑不可约非超 cuspidal 表示均显式分类为从特征诱导的Borel子群的parabolic诱导表示，完整描述见定理4.3。
• 所有U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)的光滑不可约超 cuspidal 表示均为(ω^k∘det)⊗π_r的形式，其中0 ≤ r ≤ p−1且0 ≤ k < p+1，如定理5.7所确立。
• Langlands参数与L-包之间的对应关系显式给出：当k ≠ ℓ时，φ_{k,ℓ}对应L-包{(ω^ℓ∘det)⊗π_{[k−ℓ−1]}, (ω^k∘det)⊗π_{[ℓ−k−1]}}。
• 在非超 cuspidal 情形下，ψ_{(r−1)+(1−p)k,λ}对应L-包{(ω^k∘det)⊗π(r,λ)^ss ⊕ (ω^{k+r+1}∘det)⊗π(p−1−r,λ⁻¹)^ss}。
• 参数等价性由下式确定：φ_{k,ℓ} ≡ φ_{k',ℓ'}当且仅当{k,ℓ} = {k',ℓ'}；ψ_{r,λ} ≡ ψ_{r',λ'}当且仅当(r' = r, λ' = λ)或(r' ≡ −pr − (p+1) mod (p²−1), λ' = λ⁻¹)。
• U(1,1)(ℚ_p²/ℚ_p)不存在稳定Langlands参数，所有半单参数均等价于φ_{k,ℓ}或ψ_{r,λ}，如命题A.4所示。