[论文解读] A Classification of Trapezoidal Words

Gabriele Fici|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文基于其最长重复前缀的结构，将梯形词分为开放型和闭合型。证明了开放梯形词是本原词，闭合梯形词是Sturmian词，并进一步表明梯形回文词为闭合型（因此为Sturmian词），从而实现了对Sturmian回文词中特殊因子的刻画。

ABSTRACT

Trapezoidal words are finite words having at most n+1 distinct factors of length n, for every n>=0. They encompass finite Sturmian words. We distinguish trapezoidal words into two disjoint subsets: open and closed trapezoidal words. A trapezoidal word is closed if its longest repeated prefix has exactly two occurrences in the word, the second one being a suffix of the word. Otherwise it is open. We show that open trapezoidal words are all primitive and that closed trapezoidal words are all Sturmian. We then show that trapezoidal palindromes are closed (and therefore Sturmian). This allows us to characterize the special factors of Sturmian palindromes. We end with several open problems.

研究动机与目标

• 基于最长重复前缀的出现情况，将梯形词划分为两个互不相交的类别——开放型与闭合型。
• 研究开放型与闭合型梯形词的结构与组合性质。
• 利用梯形词的分类，刻画Sturmian回文词中的特殊因子。
• 确立梯形回文词必为闭合型，因而为Sturmian词。
• 识别开放Sturmian词在计数与刻画方面尚未解决的问题。

提出的方法

• 将梯形词定义为：对每个 $ n \geq 0 $，其长度为 $ n $ 的不同因子数量不超过 $ n+1 $，从而推广有限Sturmian词。
• 引入闭合词的概念：若一个词的最长重复前缀恰好出现两次，且第二次出现为后缀，则该词为闭合词。
• 将开放词定义为非闭合的梯形词。
• 利用特殊因子（左特殊、右特殊、双特殊）的性质，分析梯形词的结构。
• 应用Sturmian词与中心词的已知结果，证明闭合梯形词为Sturmian词，且其最长双特殊因子为中心词。
• 通过反证法证明梯形回文词为闭合词，利用对称性与Sturmian词理论中的周期条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些结构性质可区分开放梯形词与闭合梯形词？
• RQ2 所有开放梯形词是否均为本原词？
• RQ3 所有闭合梯形词是否均为Sturmian词？
• RQ4 梯形回文词与Sturmian词之间存在何种关系？
• RQ5 Sturmian回文词的特殊因子能否被完全刻画？

主要发现

• 开放梯形词均为本原词，如引理13所确立。
• 闭合梯形词均为Sturmian词，如命题12所证明。
• 梯形回文词为闭合词，因而为Sturmian词，如定理16所示。
• 闭合梯形词的最长双特殊因子为中心词，如引理14所述。
• Sturmian回文词的特殊因子可由其最长左特殊因子与右特殊因子相同且为中心词这一事实刻画，如推论17所述。
• 将梯形回文词刻画为闭合词，意味着其满足周期条件 $ \pi_w = R_w + 1 $，与Sturmian词理论一致。