[论文解读] A co-reflection of cubical sets into simplicial sets with applications to model structures

Chris Kapulkin, Zachery Lindsey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通過一個straightening函子，建立了單純集到帶連接的立方集的共反射，從而實現了模型結構（如Quillen與Joyal的）在立方集上的轉移。其主要貢獻是在立方集上構造了一個新的模型結構，用以呈現$(\infty,1)$-範疇的同倫理論，這是立方集設定下首個此類模型。

ABSTRACT

We show that the category of simplicial sets is a co-reflective subcategory of the category of cubical sets with connections, with the inclusion given by a version of the straightening functor. We show that using the co-reflector, one can transfer any cofibrantly generated model structure in which cofibrations are monomorphisms to cubical sets, thus obtaining cubical analogues of the Quillen and Joyal model structures.

研究动机与目标

• 建立單純集到帶連接的立方集的共反射，以實現模型結構的轉移。
• 提供單純集上Quillen與Joyal模型結構的立方集類比。
• 在立方集範疇中構造$(\infty,1)$-範疇同倫理論的模型。
• 證明Grothendieck構造（unstraightening）是單純集到帶連接的立方集包含關係的共反射子。
• 證明在立方集上誘導出的模型結構與其單純集對應結構Quillen等價。

提出的方法

• 作者定義了一個從單純集到帶連接的立方集的straightening函子$\mathscr{Q}$，此函子作為unstraightening函子$\int$的全 faithful 左伴隨。
• 他們證明$\mathscr{Q}$使單純集成為帶連接的立方集的一個共反射子範疇，其中Grothendieck構造作為共反射子。
• 利用[HKRS17, GKR18]中的右誘導模型結構構造方法，當纖維化為單射時，他們將單純集上的纖維生成模型結構轉移到立方集上。
• 轉移的關鍵在於驗證伴隨的單位$\mathscr{Q} \dashv \int$為弱等價，此點由引理3.8確立。
• 他們將所得立方集上的模型結構與現有的$∞$-群胚的Grothendieck模型結構進行比較，透過幾何實現與單純同倫類型證明其Quillen等價。
• 證明依賴於$\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i$與$\mathrm{T} Q^n$為收縮的單純集，且滿足$|\mathrm{T} Q^n| \simeq \Delta^n$與$|\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i| \simeq |\Lambda^n_i|$。

实验结果

研究问题

• RQ1 單純集範疇能否嵌入為帶連接的立方集的共反射子範疇？
• RQ2 straightening函子是否誘導出共反射，從而實現從單純集到立方集的模型結構轉移？
• RQ3 能否透過此共反射構造出$(\infty,1)$-範疇的立方集模型結構？
• RQ4 在立方集上誘導出的模型結構是否與單純集上的Joyal模型結構Quillen等價？
• RQ5 此新立方集模型結構與$∞$-群胚的Grothendieck模型結構有何比較？

主要发现

• straightening函子$\mathscr{Q}$提供了單純集到帶連接的立方集的全 faithful 嵌入，使單純集成為共反射子範疇。
• unstraightening函子$\int$作為共反射子，且伴隨的單位$\mathscr{Q} \dashv \int$為弱等價，如引理3.8所示。
• 在立方集上誘導出的右模型結構與單純集上的原始模型結構Quillen等價，前提是纖維化為單射。
• 在立方集上所得的模型結構$\mathsf{cSet}_{IJ}$是立方集設定下首個已知的$(\infty,1)$-範疇同倫理論模型。
• 恆等函子構成$\mathsf{cSet}_{IQ}$（右誘導的Quillen模型）與$\mathsf{cSet}_G$（$∞$-群胚的Grothendieck模型）之間的Quillen等價。
• 幾何實現表明$|\mathrm{T} Q^n| \simeq \Delta^n$與$|\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i| \simeq |\Lambda^n_i|$，確認誘導出的纖維化為弱等價。