[论文解读] A cohomological description of connections and curvature over posets

John E. Roberts, Giuseppe Ruzzi|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文为在偏序集（posets）上的规范理论构建了上同调框架，通过非交换Čech型上同调对主丛、联络和曲率进行建模。它证明了联络是满足曲率为2-上边界条件的1-上链，建立了Ambrose-Singer定理的类比，并表明平坦联络与偏序集的基本群到结构群G的同态一一对应。

ABSTRACT

What remains of a geometrical notion like that of a principal bundle when the base space is not a manifold but a coarse graining of it, like the poset formed by a base for the topology ordered under inclusion? Motivated by finding a geometrical framework for developing gauge theories in algebraic quantum field theory, we give, in the present paper, a first answer to this question. The notions of transition function, connection form and curvature form find a nice description in terms of cohomology, in general non-Abelian, of a poset with values in a group $G$. Interpreting a 1--cocycle as a principal bundle, a connection turns out to be a 1--cochain associated in a suitable way with this 1--cocycle; the curvature of a connection turns out to be its 2--coboundary. We show the existence of nonflat connections, and relate flat connections to homomorphisms of the fundamental group of the poset into $G$. We discuss holonomy and prove an analogue of the Ambrose-Singer theorem.

研究动机与目标

• 在代数量子场论中发展一种几何框架，其中时空被建模为偏序集而非流形。
• 使用上同调方法将主丛、联络和曲率推广到偏序集。
• 建立平坦联络与偏序集基本群到结构群G的同态之间的一一对应关系。
• 在此上同调框架中定义并分析holonomy与规范变换。
• 为基于偏序集上丛理论结构的代数量子场论的构建提供基础。

提出的方法

• 定义偏序集K上的奇异单纯形的单纯集，使用从标准单纯形偏序集到K的保序映射。
• 引入以群G为值的偏序集的1-上同调，将1-上循环识别为主丛。
• 将联络定义为满足与1-上循环（转移函数）相容条件的1-上链。
• 将曲率定义为联络的2-上边界，推广标准微分几何中的概念。
• 将规范变换群构造为1-上循环的自同构，通过共轭作用于联络。
• 利用在偏序集路径上定义的holonomy，证明Ambrose-Singer定理的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将主丛、联络和曲率的概念从流形推广到偏序集？
• RQ2 在非交换群G取值的偏序集背景下，联络和曲率的上同调解释是什么？
• RQ3 平坦联络与偏序集基本群到G的同态之间有何关系？
• RQ4 在此上同调框架中能否定义holonomy与规范变换，且它们是否满足标准定理的类比？
• RQ5 作用于联络的规范群的结构如何？其依赖于偏序集的拓扑结构如何？

主要发现

• 在偏序集上的主丛上的联络可描述为曲率为联络的2-上边界的1-上链。
• 非平坦联络存在，表明即使在偏序集设定下，曲率也可非平凡。
• 平坦联络与偏序集基本群到G的群同态之间存在一一对应。
• 在偏序集路径上的holonomy是良定义的，并满足Ambrose-Singer定理的一个版本。
• 规范变换群通过共轭作用于联络，当G为阿贝尔群或偏序集单连通时，该群同构于G。
• 规范群对联络的作用并非自由，因为平凡联络被所有规范变换固定。