[论文解读] A cohomological formula for the Atiyah-Patodi-Singer index on manifolds with boundary

Carrillo Rouse, Paulo, Paulo Carrillo Rouse+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 43被引用 21

一句话总结

本文通过K理论与群胚技术，利用上同调公式给出了带有边界的流形上Atiyah-Patodi-Singer（APS）指标的表达式。通过将Atiyah-Singer方法推广至群胚的$C^*$-代数K理论——特别是通过到法丛的形变与切丛群胚构造——该文推导出一个以奇异法丛上的积分形式表示的指标公式，将经典指标定理推广至非紧且受边界影响的情形。

ABSTRACT

We give a cohomological formula for the index of a fully elliptic pseudodifferential operator on a manifold with boundary. As in the classic case of Atiyah-Singer, we use an embedding into an euclidean space to express the index as the integral of a cohomology class depending in this case on a noncommutative symbol, the integral being over a $C^\\infty$-manifold called the singular normal bundle associated to the embedding. The formula is based on a K-theoretical Atiyah-Patodi-Singer theorem for manifolds with boundary that is drawn from Connes' tangent groupoid approach.

研究动机与目标

• 将Atiyah-Singer指标定理推广至带有边界的流形，其中由于非局部边界条件的存在，标准方法失效。
• 通过非交换拓扑与群胚$C^*$-代数，发展APS指标的$K$-理论框架。
• 提供一个类似于经典Atiyah-Singer公式的上同调公式，但适用于带有边界的流形。
• 通过嵌入到欧氏空间所关联的奇异法丛，建立指标的几何解释。
• 将Connes的切丛群胚方法推广至带有边界的流形情形，避免对APS定理的直接群胚解释。

提出的方法

• 利用与群胚相关的$C^*$-代数的$K$-理论，对带有边界的流形上的弗雷德霍姆伪微分算子的解析指标进行建模。
• 应用到法丛的形变函子，并为流形嵌入$\mathbb{R}^N$的构造构建一个切丛群胚。
• 在$\mathbb{R}^N$上应用Connes-Thom同构与半直积群胚构造，将法丛与欧氏空间联系起来。
• 引入奇异法丛作为光滑流形，其中通过积分一个Chern特征形式来计算指标。
• 通过实现解析指标为一系列态射的复合（Thom同构、限制到法丛、Bott周期性），建立$K$-理论形式的APS指标定理。
• 通过Chern特征将$K$-理论指标转化为de Rham上同调，推导出上同调公式，得到在奇异法丛上的积分表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将带有边界的流形上的Atiyah-Patodi-Singer指标以类似于经典Atiyah-Singer公式的上同调形式表达？
• RQ2 能否通过群胚$C^*$-代数的$K$-理论克服边界条件的非局部性？
• RQ3 奇异法丛在将指标表示为光滑流形上的积分时起到何种作用？
• RQ4 切丛群胚构造如何推广至带有边界的流形，以恢复APS指标？
• RQ5 Connes的群胚方法在多大程度上可被调整，以得到APS指标定理的$K$-理论表述？

主要发现

• 本文建立了一个新的APS指标上同调公式，即在奇异法丛上的积分：$\text{ind}\,D = \int_{N(M)} \text{ch}(\mathscr{T}([\sigma_D]))$。
• 解析指标被表示为一系列态射的复合：$K^0(T^*M) \xrightarrow{\mathscr{T}} K^0(N(M)) \xrightarrow{j!} K^0(\mathbb{R}^N) \xrightarrow{B} \mathbb{Z}$，推广了Atiyah-Singer的分解结构。
• 该构造使用与嵌入相关的自由正规半直积群胚，确保了切丛群胚形变的存在性。
• 证明表明奇异法丛是一个$C^\infty$-流形，从而支持在上同调公式中对微分形式进行积分。
• 证明依赖于群胚作用的正规性以及态射$h: \mathscr{G} \to \mathbb{R}^N$的单射性，确保了切丛群胚中序列的收敛性。
• 最终公式与嵌入到$\mathbb{R}^N$的选择无关，因为指标是拓扑不变量，且在该类形变下保持不变。