[论文解读] A Coinductive Treatment of Infinitary Rewriting
本文提出了一种共归纳框架，用于无穷项重写，消除了对序数和度量收敛的依赖，通过涉及最小与最大不动点的不动点方程定义无穷重写关系。该框架支持在定理证明器中进行形式化，如通过 Coq 证明了压缩引理，并引入了用于无穷归约的新共归纳证明项。
We introduce a coinductive definition of infinitary term rewriting. The setup is surprisingly simple, and has in contrast to the usual definitions of infinitary rewriting, neither need for ordinals nor for metric convergence. While the idea of a coinductive treatment of infinitary rewriting is not new, all previous approaches were limited to reductions of length at most omega. The approach presented in this paper is the first to capture the full infinitary term rewriting with reductions of arbitrary ordinal length. Apart from an elegant reformulation of known concepts, our approach gives rise, in a very natural way, to a novel notion of infinitary equational reasoning.
研究动机与目标
- 开发一种避免依赖序数和度量收敛的无穷重写共归纳处理方法。
- 通过最小与最大不动点，提供一种数学上精确且简洁的无穷重写关系定义。
- 使无穷重写能够在 Coq 等交互式定理证明器中实现形式化。
- 引入共归纳证明规则，以生成无穷归约的证明项。
- 探索无穷重写的新型变体，如双向无穷重写与无穷等式推理，均基于共归纳构建。
提出的方法
- 无穷重写关系定义为 $\mathrel{\mbox{$\to\to\to$}} = \mu x.\, \nu y.\, (\to_{\varepsilon} \cup \overline{x})^* \circ \overline{y}$，其中 $\mu$ 表示最小不动点，$\nu$ 表示最大不动点。
- 算子 $\overline{R}$ 将关系 $R$ 提升至项，通过递归地应用于所有子项实现，对匹配结构保持恒等。
- 根步 $\to_{\varepsilon}$ 通过重写规则与代换定义，构成归约的基础。
- 该框架使用共归纳推导规则，允许无穷证明树的存在，通过循环结构表示超限归约。
- 通过共归纳规则生成证明项，支持在 Coq 中对无穷归约进行形式化验证。
- 在 Coq 中形式化证明了压缩引理，展示了该框架在机械化推理中的实际效用。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在不依赖序数或度量收敛的前提下定义无穷重写？
- RQ2共归纳框架能否捕捉任意序数长度的无穷归约？
- RQ3如何系统地生成并形式化无穷归约的证明项？
- RQ4从共归纳框架中自然衍生出哪些无穷重写的新型变体？
- RQ5该框架在多大程度上能够支持无穷重写中主要定理的形式化？
主要发现
- 无穷重写关系通过一个简洁的不动点方程定义，同时涉及最小与最大不动点，从而消除了对序数或收敛度量的依赖。
- 该框架支持在 Coq 中进行形式化，如通过形式化证明压缩引理所展示的。
- 共归纳证明规则可生成无穷归约的证明项，支持机械化推理。
- 引入了两种无穷重写的新型变体：双向无穷重写与无穷等式推理，二者均以共归纳方式定义。
- 该框架揭示了无穷重写与余代数之间的自然联系，暗示了更深层次的理论关联。
- 证明关系 $=^\infty$ 严格包含于 $(\mathrel{\mbox{$\to\to\to$}} \cup \mathrel{\reflectbox{$\mathrel{\mbox{$\to\to\to$}}$}})^*$，表明无穷等式推理中存在严格的层次结构。
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