[论文解读] A Collection of Constraint Programming Models for the Three-Dimensional Stable Matching Problem with Cyclic Preferences

Chris Unsworth, Patrick Prosser|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种高效的 n 元约束 SM2N，用于稳定婚姻问题，通过每实例仅使用一个约束即可实现稳定性并避免重婚。该方法在弧一致性方面实现了最优的 O(n²) 时间复杂度，相较于布尔编码在速度和空间效率方面表现更优，能够可扩展地求解大规模实例（最大至 n=2000），并支持集成到更复杂的优化问题中，如性别平等稳定婚姻问题。

ABSTRACT

We introduce five constraint models for the 3-dimensional stable matching problem with cyclic preferences and study their relative performances under diverse configurations. While several constraint models have been proposed for variants of the two-dimensional stable matching problem, we are the first to present constraint models for a higher number of dimensions. We show for all five models how to capture two different stability notions, namely weak and strong stability. Additionally, we translate some well-known fairness notions (i.e. sex-equal, minimum regret, egalitarian) into 3-dimensional matchings, and present how to capture them in each model. Our tests cover dozens of problem sizes and four different instance generation methods. We explore two levels of commitment in our models: one where we have an individual variable for each agent (individual commitment), and another one where the determination of a variable involves pairing the three agents at once (group commitment). Our experiments show that the suitability of the commitment depends on the type of stability we are dealing with. Our experiments not only led us to discover dependencies between the type of stability and the instance generation method, but also brought light to the role that learning and restarts can play in solving this kind of problems.

研究动机与目标

• 开发一种比现有布尔编码更高效且实用的稳定婚姻问题约束编码。
• 使稳定婚姻约束能够在更大、更复杂的约束满足问题中被使用。
• 支持对性别平等稳定婚姻问题（SESMP）的首次基于约束的系统研究。
• 在实现最优时间复杂度的同时，与先前编码相比显著降低空间占用与计算时间。

提出的方法

• 提出一种专用的 n 元约束 SM2N，利用偏好列表在 n 位男性与 n 位女性之间强制实现稳定性和非重婚。
• 使用反向偏好列表（mPw, wPm）以实现约束传播过程中 O(1) 的偏好排名访问。
• 使用标准约束编程原语实现该约束：getMin、getMax、setMax、setVal、remVal，以及通过 AC5 或 AC3 实现的弧一致性传播。
• 利用调用栈机制，仅在变量域发生变化时触发约束传播，从而确保效率。
• 通过添加最少的代码以同时维护男性和女性导向的 Gale-Shapley 列表，将最小编码扩展为支持搜索和嵌入更大问题。
• 通过最小化男性与女性总匹配得分之间的绝对差值，应用该约束求解性别平等稳定婚姻问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 单个 n 元约束能否在稳定婚姻问题中实现弧一致性方面的最优 O(n²) 时间复杂度？
• RQ2 SM2N 约束与文献 [3] 中的布尔编码相比，在性能和空间效率方面表现如何？
• RQ3 SM2N 约束能否在搜索中有效使用，并成功嵌入到更大、更复杂的约束问题中？
• RQ4 SM2N 约束能否高效求解大规模稳定婚姻实例（例如 n=2000）？
• RQ5 SM2N 约束能否有效建模并求解性别平等稳定婚姻问题（SESMP）？

主要发现

• SM2N 约束在弧一致性方面实现了 O(n²) 的时间复杂度，与文献 [3] 中布尔编码的理论最优时间复杂度一致，但实际性能显著更优。
• 对于 n=2000，SM2N 模型在标准稳定婚姻问题上平均仅用 20.19 秒求解所有解，而布尔编码在 n=300 时即已失败。
• SM2N 模型仅需 O(n) 个变量和 O(n²) 个约束，而布尔模型需要 O(n²) 个变量和 O(n²) 个约束，因此 SM2N 在空间效率上远超布尔模型。
• SM2N 约束在 n=2000 时平均仅用 22.44 秒即求解了性别平等稳定婚姻问题（SESMP），证明其在复杂优化扩展中的可行性。
• 在 n=1000 时，SM2N 约束相比 SM2 模型性能提升超过 15 倍，证实其在时间和空间效率上的优越性。
• 该约束原生兼容主流约束编程工具包（如 Choco、JSolver、Koalog），具备广泛适用性。