[论文解读] A combinatorial calculation of the Landau-Ginzburg model $M= \mathbb C^3, W=z_1 z_2 z_3$

David Nadler|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过在锥化拉格朗日子空间 $L$ 上使用微局部层，计算了 $M = \mathbb{C}^3$，$W = z_1 z_2 z_3$ 的朗道-金兹堡模型的 $A$-模型，其中 $L$ 同胚于一个二维环面的锥。通过应用树状化引理的组合约化，微局部层的导出范畴被证明等价于配对裤 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 的 $B$-模型，从而在此情形下验证了镜像对称性。

ABSTRACT

The aim of this paper is to apply ideas from the study of Legendrian singularities to a specific example of interest within mirror symmetry. We calculate the Landau-Ginzburg $A$-model with $M= \mathbb C^3, W=z_1 z_2 z_3$ in its guise as microlocal sheaves along the natural singular Lagrangian thimble $L = {\mathit Cone}(T^2)\subset M$. The description we obtain is immediately equivalent to the $B$-model of the pair-of-pants $\mathbb P^1 \setminus \{0, 1, \infty\}$ as predicted by mirror symmetry.

研究动机与目标

• 通过在其锥化拉格朗日子空间上的微局部层，计算朗道-金兹堡模型 $M = \mathbb{C}^3$，$W = z_1 z_2 z_3$ 的 $A$-模型。
• 通过证明所得的微局部层范畴与配对裤 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 的 $B$-模型等价，验证镜像对称性。
• 展示组合方法——特别是树状化引理——在非光滑或非紧致情形下计算微局部层的实用性。
• 在临界集奇异且非紧致的情形下，提供 $A$-brane 范畴的明确可计算实现，填补了文献中的空白。

提出的方法

• 通过球面对偶余切丛，将锥化拉格朗日子空间 $L \subset \mathbb{C}^3$ 识别为 $S^*X$ 中的传奇子簇 $\Lambda$。
• 应用树状化引理（引理 2.3），将 $\Lambda \subset S^*X$ 上微局部层的计算约化为 $\mathbb{R}^4$ 中一个 3-球 $A$ 上的构造层。
• 证明传奇子簇 $\Lambda_A \subset S^*A$ 微分同胚于一个二维环面，其到子集 $\Sigma \subset A$ 的投影在四个点外为浸入，且在自交处横截。
• 计算范畴 $\mathit{Sh}_{\Lambda_A}(A)_c$ 为五个有限维 $k$-向量空间 $V, V_1, V_2, V_3, V_4$ 的有界导出范畴，其间的映射 $V_a \to V$ 满足对任意 $a \neq b$ 有 $V_a \oplus V_b \simeq V$，这些关系编码了单值性数据。
• 所得数据由一个自同态 $m: V_1 \to V_1$ 参数化，且要求 $1$ 不是其特征值，这与配对裤的 $B$-模型结构完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当临界集奇异且非紧致时，朗道-金兹堡模型 $M = \mathbb{C}^3$，$W = z_1 z_2 z_3$ 的 $A$-模型范畴是什么？
• RQ2 尽管存在奇点，是否仍能通过组合方法计算锥化拉格朗日子空间 $L$ 上的微局部层范畴？
• RQ3 微局部层范畴 $\mathit{Sh}_{\Lambda_A}(A)_c$ 与配对裤 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 的 $B$-模型有何关系？
• RQ4 树状化引理能否有效应用于计算光滑流形上传奇锥的微局部层？
• RQ5 在此情形下，所得微局部层范畴的精确代数结构是什么？

主要发现

• 在 $\mathbb{C}^3$ 中的锥化拉格朗日子空间 $L$ 上，微局部层 $\mu\mathit{Sh}_\Lambda(X)$ 的导出范畴等价于 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 上有限生成挠复形的有界 dg 范畴。
• 范畴 $\mathit{Sh}_{\Lambda_A}(A)_c$ 等价于五个有限维 $k$-向量空间 $V, V_1, V_2, V_3, V_4$ 的有界导出范畴，其间的映射 $V_a \to V$ 满足对任意不同的 $a,b$ 有 $V_a \oplus V_b \simeq V$。
• 数据由一个自同态 $m: V_1 \to V_1$ 参数化，且 $1$ 不是其特征值，这与配对裤的 $B$-模型结构完全一致。
• 通过单次应用树状化引理，将问题约化为在 3-球上的构造层，从而建立了等价性。
• 所得范畴等价于配对裤的 $B$-模型，从而在此情形下确认了镜像对称性。
• 计算表明，即使临界集奇异且非紧致，$A$-模型仍可计算且具有组合可处理性。