[论文解读] A combinatorial description of dual defects of toric varieties

Katsuhisa Furukawa, Atsushi Ito|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过Cayley和刻画了toric代数簇的对偶缺陷，证明了toric代数簇$X_A$是对偶缺陷的当且仅当其定义集$A$是join型Cayley和$A_0 * \cdots * A_r$的$\mathbb{Z}$-仿射等价，且对偶缺陷$\delta_{X_A} = r - c$，其中$c$是基空间的余维数。该结果将此前关于光滑和$\mathbb{Q}$-因子情形的结果推广至任意toric代数簇。

ABSTRACT

From a finite set in a lattice, we can define a toric variety embedded in a projective space. In this paper, we give a combinatorial description of the dual defect of the toric variety using the structure of the finite set as a Cayley sum with suitable conditions. We also interpret the description geometrically.

研究动机与目标

• 为由$\mathbb{Z}^n$中有限子集定义的toric代数簇的对偶缺陷性提供一个组合准则。
• 将此前关于光滑和$\mathbb{Q}$-因子toric代数簇中对偶缺陷的结果推广至一般情形，包括非正规和非光滑代数簇。
• 通过分析定义集$A$作为具有特定代数条件的Cayley和的结构，刻画toric代数簇$X_A$为对偶缺陷的条件。
• 通过关联代数簇的join结构和接触点集的行为，建立对偶缺陷的几何解释。

提出的方法

• 将toric代数簇$X_A \subset \mathbb{P}^N$定义为与有限集$A \subset \mathbb{Z}^n$相关的单项式映射$\varphi_A: (\mathbb{C}^\times)^n \to \mathbb{P}^N$的像的闭包。
• 引入Cayley和$A_0 * \cdots * A_r$的概念，其为$\mathbb{Z}^{n-r} \times \mathbb{Z}^r$的子集，编码$A$的组合结构。
• 定义Cayley和的'join型'条件：Minkowski差$\langle A_i - A_i \rangle$的和必须是内部直和，以保证基空间的格点结构被保持。
• 利用态射$\psi: X_A \dashrightarrow B \supset (\mathbb{C}^\times)^c$将对偶缺陷与接触点集的纤维维数联系起来，其中$B$是包含$(\mathbb{C}^\times)^c$的射影代数簇。
• 应用奇点消解和正规化技术，从余切丛$C(X)$构造态射$\widetilde{\operatorname{pr}}_2: \widetilde{C}(X) \to (X^*)^{\text{nor}}$，从而可应用对偶性定理。
• 利用射影对偶性（$X^{**} = X$）和纤维维数分析，推导出公式$\delta_{X_A} = r - c$，其中$r$为Cayley和中分量的个数，$c$为基空间的余维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么情况下toric代数簇$X_A$是对偶缺陷的？其定义集$A \subset \mathbb{Z}^n$中何种组合结构刻画了这一性质？
• RQ2 对偶缺陷$\delta_{X_A}$如何与$A$作为有限集$A_0, \dots, A_r$的Cayley和的分解相关联？
• RQ3 Cayley和需满足何种条件才能使$X_A$为对偶缺陷？该结果如何推广已知的光滑或$\mathbb{Q}$-因子代数簇的情形？
• RQ4 是否能仅通过$A$的格点结构纯组合地计算对偶缺陷，而无需假设光滑性或正规性？
• RQ5 对一般$H \in X^{*}$，$X_A$上的接触点集的几何意义是什么？其与有理映射$\psi$的纤维有何关联？

主要发现

• 当且仅当其定义集$A$是join型Cayley和$A_0 * \cdots * A_r$的$\mathbb{Z}$-仿射等价时，toric代数簇$X_A$是对偶缺陷的，其中$r = (n + \delta_{X_A})/2$。
• 对偶缺陷满足$\delta_{X_A} = r - c$，其中$r$为Cayley和中分量的个数，$c$为基空间$B \supset (\mathbb{C}^\times)^c$的维数。
• 对一般$H \in X^{*}$，$X_A$上的接触点集包含于有理映射$\psi: X_A \dashrightarrow B$的某个纤维$Y_s$中，且该纤维的维数对应于缺陷。
• 有理映射$\psi$的构造不总是态射，特别地，$X_A$可能具有Picard数为1，从而排除了到正维射影簇的满态射。
• 该结果将此前关于光滑和$\mathbb{Q}$-因子toric代数簇的定理推广至一般情形，包括非正规和非光滑代数簇。
• 当对称幂映射$\operatorname{Sym}^d H^0(\mathcal{E}) \to H^0(\operatorname{Sym}^d \mathcal{E})$是满射时，$X_A$的射影正规性得以保持，例如当$\mathcal{E} = \mathcal{O}(2,0) \oplus \mathcal{O}(0,2) \oplus \mathcal{O}(1,1)^{\oplus 2}$时。