[论文解读] A Combinatorial $ ilde{O}(m^{3/2})$-time Algorithm for the Min-Cost Flow Problem

Ruben Becker, Andreas Karrenbauer|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2013

Low-power high-performance VLSI design参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种组合 $\tilde{O}(m^{3/2})$-时间算法来解决最小费用最大流问题，通过在 $O(m)$ 时间内构建一个辅助网络，其中包含初始势能为 $P_0 = \tilde{O}(\bar{m}^{1/2})$ 的内部原始解和对偶解，利用一种基于电流传导计算的新颖势能降低方法，并结合一种交叉程序在近乎线性时间内计算最优整数势能，首次在组合意义上实现了目前已知的最佳时间复杂度。

ABSTRACT

We present a combinatorial method for the min-cost flow problem and prove that its expected running time is bounded by $ ilde O(m^{3/2})$. This matches the best known bounds, which previously have only been achieved by numerical algorithms or for special cases. Our contribution contains three parts that might be interesting in their own right: (1) We provide a construction of an equivalent auxiliary network and interior primal and dual points with potential $P_0= ilde{O}(\sqrt{m})$ in linear time. (2) We present a combinatorial potential reduction algorithm that transforms initial solutions of potential $P_0$ to ones with duality gap below $1$ in $ ilde O(P_0\cdot \mbox{CEF}(n,m,ε))$ time, where $ε^{-1}=O(m^2)$ and $\mbox{CEF}(n,m,ε)$ denotes the running time of any combinatorial algorithm that computes an $ε$-approximate electrical flow. (3) We show that solutions with duality gap less than $1$ suffice to compute optimal integral potentials in $O(m+n\log n)$ time with our novel crossover procedure. All in all, using a variant of a state-of-the-art $ε$-electrical flow solver, we obtain an algorithm for the min-cost flow problem running in $ ilde O(m^{3/2})$.

研究动机与目标

• 通过在组合意义上实现 $\tilde{O}(m^{3/2})$ 的时间复杂度，弥合组合算法与数值算法在最小费用最大流问题上的差距。
• 在 $O(m)$ 时间内构建一个辅助网络，使其具有低初始势能的内部原始解和对偶解。
• 设计一种组合势能降低算法，利用电流传导子程序在 $\tilde{O}(P_0 \cdot \text{CEF}(n,m,\epsilon))$ 时间内将对偶间隙降低至 1 以下。
• 开发一种新颖的交叉程序，从对偶间隙小于 1 的解出发，在 $O(m + n\log n)$ 时间内计算出最优整数势能。
• 仅使用组合运算实现最小费用最大流问题的最佳已知时间复杂度，避免在计算中使用对数和平方根。

提出的方法

• 构建一个具有 $3m$ 条弧和 $n_1 = O(n)$ 个节点的辅助网络 $G_1$，并保持原图 $G_0$ 的最优解不变。
• 在 $G_0$ 中计算一棵树解，并在 $G_1$ 中推导出初始原始解和对偶解 $x$, $y$, $s$，使得对所有弧均有 $x_a s_a \in [t, t + \Gamma^2]$，其中 $t = m\Gamma^3$。
• 使用势能函数 $P(x,s) = q\ln(x^T s) - \sum_a \ln(x_a s_a) - m_1 \ln m_1$ 来引导搜索过程，其中 $q = m_1 + p$，$p = \min\{k \in \mathbb{Z} : k^2 \geq m_1\}$。
• 通过沿环路更新流来执行原始步骤，其方向由势能函数梯度在环路空间上的投影决定；当梯度几乎与环路空间正交时执行对偶步骤。
• 通过电流传导子程序计算所需的投影，其中电阻与原始变量值成反比，电流源由梯度导出。
• 应用一种新颖的交叉程序，将对偶间隙小于 1 的解转换为最优整数势能，时间复杂度为 $O(m + n\log n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种组合算法，使最小费用最大流问题的复杂度达到 $\tilde{O}(m^{3/2})$，与目前已知的最佳数值方法一致？
• RQ2 能否在辅助网络中以线性时间构造出具有低初始势能的内部解，且该网络的最优解与原图相同？
• RQ3 能否仅使用组合运算，在 $\tilde{O}(P_0 \cdot \text{CEF}(n,m,\epsilon))$ 时间内，通过组合势能降低方法将对偶间隙降低至 1 以下？
• RQ4 能否设计一种近乎线性时间的交叉程序，将对偶间隙小于 1 的解转换为最优整数势能？
• RQ5 能否确保整个算法仅使用基本算术和比较运算实现，避免在计算中使用对数和平方根？

主要发现

• 该算法在 $O(m)$ 时间内构建了具有 $m_1 = 3m$ 条弧和 $n_1 = O(n)$ 个节点的辅助网络 $G_1$，并保持了原图的最优解。
• 在 $G_1$ 中的初始原始解和对偶解具有势能 $P_0 = \tilde{O}(\sqrt{m})$，该势能通过算法 3 在线性时间内实现。
• 势能降低算法在 $\tilde{O}(P_0 \cdot \text{CEF}(n,m,\epsilon))$ 时间内将对偶间隙降低至 1 以下，其中 $\epsilon^{-1} = O(m^2)$。
• 交叉程序在从对偶间隙小于 1 的解出发时，可在 $O(m + n\log n)$ 时间内计算出最优整数势能。
• 结合最先进的组合 $\varepsilon$-电流传导求解器，整个算法的期望时间复杂度为 $\tilde{O}(m^{3/2})$。
• 该算法完全为组合算法：仅使用基本算术和比较运算，对数和平方根仅出现在分析中，未出现在实际计算中。