[论文解读] A combinatorial problem in infinite groups

Aliréza Abdollahi|ArXiv.org|Dec 2, 2002

Finite Group Theory Research参考文献 42被引用 3

一句话总结

本文研究了由字 $ w = 1 $ 定义的群的种类 $ \mathcal{V}(w) $ 与更强的组合条件 $ w^* $ 之间的关系，其中 $ w^* $ 指的是：每个无限子集族中均包含 $ w = 1 $ 的解。本文证明，在某些有限性与结构性条件（如局部有限性、局部可解性或有限秩）下，满足 $ w^* $ 的群实际上属于 $ \mathcal{V}(w) $，从而在广泛的群类中确立了等式 $ \mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F} = \mathcal{V}(w^*) $。

ABSTRACT

Let $w$ be a word in the free group of rank $n \in \mathbb{N}$ and let $\mathcal{V}(w)$ be the variety of groups defined by the law $w=1$. Define $\mathcal{V}(w^*)$ to be the class of all groups $G$ in which for any infinite subsets $X_1, ..., X_n$ there exist $x_i \in X_i$, $1\leq i\leq n$, such that $w(x_1, ..., x_n)=1$. Clearly, $\mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F} \subseteq \mathcal{V}(w^*)$; $\mathcal{F}$ being the class of finite groups. In this paper, we investigate some words $w$ and some certain classes $\mathcal{P}$ of groups for which the equality $(\mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F})\cap \mathcal{P}= \mathcal{P} \cap \mathcal{V}(w^*)$ holds.

研究动机与目标

• 解决猜想 $ \mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F} = \mathcal{V}(w^*) $，其中 $ \mathcal{V}(w^*) $ 是指所有无限子集族中均包含 $ w = 1 $ 解的群的集合。
• 识别在何种群的结构性条件下（例如局部有限性、局部可解性、有限秩）满足 $ \mathcal{V}(w^*) $ 的群必然属于 $ \mathcal{V}(w) $。
• 通过将等式推广至更广泛的群类，推广先前关于 Engel 群、幂零群和幂交换群的结果。
• 通过分析 $ \mathcal{V}(w^*) $-群中不存在某些无限单群或局部有限段的性质，建立等式问题的约化。

提出的方法

• 将类 $ \mathcal{V}(w^*) $ 定义为：对任意 $ n $ 个无限子集，均存在每个子集中的元素使得 $ w(x_1,\dots,x_n) = 1 $ 成立。
• 应用结构群论，特别是关于极小群、有限剩余结构及有限秩可解群的结果。
• 利用 Kropholler 定理证明：若有限生成可解群不包含与 $ C_p \text{wr} C_\infty $ 同构的段，则其为极小群。
• 应用关于剩余有限群和局部有序群的结果，尤其利用了：若无限局部有序或有限秩群属于 $ \mathcal{V}(w^*) $，则其必属于 $ \mathcal{V}(w) $。
• 分析特定群（如 $ M(\alpha,p) $ 和 $ C_q \text{wr} C_\infty $）作为障碍的作用：若此类群不属于 $ \mathcal{V}(w) $，则 $ \mathcal{V}(w^*) $-群必属于 $ \mathcal{V}(w) $。
• 采用反证法结合段理论：若 $ \mathcal{V}(w^*) $ 中的群不属于 $ \mathcal{V}(w) $，则其必有无限单段，而该情况在给定条件下被排除。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种字 $ w $ 与群类 $ \mathcal{P} $ 的条件下，等式 $ \mathcal{V}(w^*) \cap \mathcal{P} = (\mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F}) \cap \mathcal{P} $ 成立？
• RQ2 能否在无限局部可解群或有限秩群中建立等式 $ \mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F} = \mathcal{V}(w^*) $？
• RQ3 特定群如 $ C_p \text{wr} C_\infty $ 和 $ M(\alpha,p) $ 在阻碍或促成等式 $ \mathcal{V}(w^*) = \mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F} $ 中起何种作用？
• RQ4 若 $ \mathcal{V}(w^*) $ 中不存在无限线性单局部有限群，是否意味着 $ \mathcal{V}(w^*) $-群属于 $ \mathcal{V}(w) $？
• RQ5 局部有限性、局部可解性与剩余有限性等性质如何与 $ w^* $-条件相互作用，从而强制群属于 $ \mathcal{V}(w) $？

主要发现

• 若所有有限生成剩余有限群在 $ \mathcal{V}(w) $ 中均为多循环有限群，则每个无限有限生成局部有序受限群在 $ \mathcal{V}(w^*) $ 中必属于 $ \mathcal{V}(w) $。
• 若 $ \mathcal{P} $ 对子群封闭、由可解群构成，且对 $ (\mathcal{P} \text{ by finite}) $-群等式成立，则每个无限剩余 [(局部 $ \mathcal{P} $)-by-finite] 群在 $ \mathcal{V}(w^*) $ 中必属于 $ \mathcal{V}(w) $。
• 若对所有素数 $ q $ 有 $ C_q \text{wr} C_\infty \not\in \mathcal{V}(w) $，或对所有 $ p \geq 0 $ 有 $ M(\alpha,p) \not\in \mathcal{V}(w) $，则每个无限局部可解群在 $ \mathcal{V}(w^*) $ 中必属于 $ \mathcal{V}(w) $。
• 非线性单局部有限群不属于 $ \mathcal{V}(w^*) $，这有助于排除 $ \mathcal{V}(w) \cup \mathcal{F} = \mathcal{V}(w^*) $ 等式可能的反例。
• 对于可解字 $ w = w_d $，无限局部有限 $ \mathcal{V}(w^*) $-群属于 $ \mathcal{V}(w) $ 当且仅当其无无限线性单局部有限段。
• 无限局部可解有限秩群在 $ \mathcal{V}(w^*) $ 中必属于 $ \mathcal{V}(w) $，因为此类群为极小群，故满足所需的有限性条件。