[论文解读] A combinatorial solution to Mœglin's parametrization of Arthur packets for p-adic quasisplit $Sp(N)$ and $O(N)$

Bin Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一种组合框架，通过若尔当块和奇偶性条件，完全参数化了 $p$-进拟分裂辛群和正交群 $Sp(N)$ 与 $O(N)$ 的亚瑟包。该研究通过显式计算通过特征群的分量群结构来确定亚瑟包的大小与结构，解决了莫林的参数化问题，证明了包的重数为一，并对每个包中不可约表示给出了完整分类。

ABSTRACT

We develop a general procedure to study the combinatorial structure of Arthur packets for $p$-adic quasisplit $Sp(N)$ and $O(N)$ following the works of Mœglin. This allows us to answer many delicate questions concerning the Arthur packets of these groups, for example the size of the packets.

研究动机与目标

• 开发一种通用的组合程序，用于分析 $p$-进拟分裂 $Sp(N)$ 与 $O(N)$ 的亚瑟包结构，扩展莫林的工作。
• 通过确定其大小与分量群结构，解决亚瑟包的参数化问题。
• 在亚瑟包中的不可约表示与分量群 $\widehat{\mathcal{S}_{\psi}^{\Sigma_0}}$ 的特征之间建立规范对应关系。
• 证明亚瑟包是重数为一的，从而确认了自守表示理论中的一个关键猜想。

提出的方法

• 本文使用亚瑟参数 $\psi$ 的若尔当块分解 $Jord(\psi)$ 来对亚瑟包中的不可约表示进行分类。
• 根据表示 $\rho$ 关于 $W_F$ 的类型（正交或辛），对若尔当块 $(\rho, a, b)$ 定义奇偶性条件，从而确定分量群的结构。
• 群 $\widehat{\mathcal{S}_{\psi}^{\Sigma_0}}$ 被构造为 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{Jord(\psi_p)}$ 的子群，带有乘积条件，编码了 $\mathrm{Im}\,\underline{\psi}$ 的中心化子的分量群。
• 通过扭曲内插端李特征恒等式，本文构造了 $\Pi_{\psi}^{\Sigma_0}$ 中不可约表示与 $\widehat{\mathcal{S}_{\psi}^{\Sigma_0}}$ 中特征之间的规范双射。
• 推导出涉及 $l_i, A_i, B_i, \eta_i^*$ 的显式不等式，以确定在何种条件下某些表示属于该包，基于符号条件与重数约束。
• 通过分析 $\eta_i^*$ 的符号与 $A_i - B_i$ 的奇偶性，进行情形划分，最终得到包结构的完整组合刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $p$-进拟分裂 $Sp(N)$ 与 $O(N)$，亚瑟包的精确组合结构是什么？如何对其进行参数化？
• RQ2 亚瑟包的大小如何确定？其重数为一的性质由什么控制？
• RQ3 分量群 $\mathcal{S}_{\psi}^{\Sigma_0}$ 在分类包中不可约表示方面起什么作用？
• RQ4 $\eta_i^*$ 的符号与 $A_i - B_i$ 的奇偶性如何影响表示在包中的包含性？
• RQ5 莫林的参数化能否被完全转化为组合化且可计算的形式，以支持显式计算？

主要发现

• 亚瑟包 $\bar{\Pi}_\psi$ 是重数为一的，通过组合框架确认了莫林的结果。
• 亚瑟包 $\bar{\Pi}_\psi$ 的大小等于群 $\widehat{\mathcal{S}_{\psi}^{\Sigma_0}}$ 的阶，该群是 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{Jord(\psi_p)}$ 的子群，带有乘积条件。
• $\widehat{\mathcal{S}_{\psi}^{\Sigma_0}}$ 与 $\mathrm{Cent}(\mathrm{Im}\,\underline{\psi}, \widehat{G}\rtimes\langle\widehat{\theta_0}\rangle)/Z(\widehat{G})^{\Gamma_F}$ 的分量群的特征群之间存在规范同构。
• 本文提供了表示属于 $\Pi_{\psi}^{\Sigma_0}$ 的显式必要与充分条件，这些条件基于符号条件 $\eta_i^*$ 与涉及 $l_i, A_i, B_i$ 的不等式。
• 该参数化是完全组合化的：$\bar{\Pi}_\psi$ 的结构完全由若尔当块 $Jord(\psi)$ 及其奇偶类型决定。
• 该分析通过与 $\widehat{\mathcal{S}_{\psi}^{\Sigma_0}}$ 的双射，对 $\Pi_{\psi}^{\Sigma_0}$ 中不可约表示给出了完整分类，以构造性方式解决了莫林的参数化问题。