[论文解读] A Comment On Berry Connections

Gregory W. Moore|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2017

Topological Materials and Phenomena参考文献 20被引用 14

一句话总结

本文主张，在未指定底层希尔伯特丛上的联络时，量子系统中的贝里联络并非唯一定义的，这引入了一个此前被忽视的自由度。作者通过两个例子——绝缘体中的电极化率和3+1维拓扑绝缘体中的轴子角——表明这种选择会影响物理可观测量，意味着在未指定丛联络的情况下，标准的贝里相位形式是不完整的，这对拓扑相和有效场论具有影响。

ABSTRACT

When families of quantum systems are equipped with a continuous family of Hamiltonians such that there is a gap in the common spectrum one can define a notion of a Berry connection. In this note we stress that, in general, since the Hilbert bundle defining the family of quantum systems does not come with a canonical trivialization there is in fact not a single Berry connection but rather a family of Berry connections. Two examples illustrate that this remark can have physical consequences.

研究动机与目标

• 强调贝里联络的定义需要在希尔伯特丛上额外选择一个非典范的联络，而这一选择在标准处理中常常被省略。
• 证明这一选择可能产生可测量的物理后果，从而挑战了‘贝里联络由哈密顿量和能量截断唯一定义’的假设。
• 通过两个具体例子说明这一微妙之处的物理相关性：绝缘体中的电极化率和3+1维拓扑绝缘体中的轴子角。
• 建议这一微妙之处在更广泛的情境中也具有相关性，例如在Narain模空间上的共形场论和高维tt*几何中。
• 推动进一步探索在非对易控制参数的系统以及通过积分掉重模式得到的有效场论中，丛联络的作用。

提出的方法

• 在参数空间X上形式化希尔伯特丛结构，区分可平凡化丛与已平凡化的丛，以强调平凡化在定义联络中的作用。
• 引入一个由X参数化的哈密顿量族，并通过能量截断定义低能态，同时指出希尔伯特丛的联络是一个独立的、非平凡的选择。
• 使用陈-西蒙斯有效作用量（公式41）来描述3+1维量子霍尔效应，采用涉及倒格子矢量和对称K-矩阵的规范不变形式。
• 分析有效规范理论的传播子（公式47），表明该理论在红外区表现出拓扑标度（1/k），尤其在与矢量G正交的动量下。
• 应用异常流入机制（Callan-Harvey）表明，3D晶体中的位错会宿主手性边缘模式，以抵消规范异常，且模式数量由伯格斯矢量和轴子角决定。
• 通过阿贝尔陈-西蒙斯理论与K-矩阵及背景 gauge 场（公式52）提出2+1D分数量子霍尔效应向3+1D的推广，暗示新的拓扑相。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在未指定希尔伯特丛上的联络时，标准的贝里联络定义是不完整的？
• RQ2 希尔伯特丛上联络的选择如何影响电极化率或轴子角等物理可观测量？
• RQ3 3+1D量子霍尔效应能否被理解为2+1D分数量子霍尔效应的非平凡推广？其与简单二维系统堆叠的差异条件是什么？
• RQ4 在具有非对易控制参数的系统或Narain模空间上的共形场论中，丛联络起什么作用？
• RQ5 异常流入机制如何解释3D拓扑绝缘体中位错线处手性边缘模式的存在？

主要发现

• 希尔伯特丛的联络是一个独立的物理自由度，即使在哈密顿量和能量截断固定的情况下，不同的选择也会导致不同的贝里联络。
• 联络的选择会影响3+1D绝缘体中轴子角的有效作用量，轴子角与围绕位错线的环路积分的贝里联络成正比。
• 在存在位错的情况下，奇异规范变换下陈-西蒙斯作用量的异常变化被手性边缘模式所抵消，模式数量等于轴子角沿位错线的卷绕数。
• 3+1D QHE的有效理论在与矢量G正交的动量下表现出传播子的1/k标度，表明其具有类似于陈-西蒙斯理论的拓扑行为。
• 通过K-矩阵陈-西蒙斯理论（公式52）提出2+1D分数量子霍尔效应向3+1D的推广，当K-矩阵不沿单一方向对齐时，可描述不可堆叠的拓扑相。
• 该理论在k→0极限下表现出非平凡的红外行为，传播子标度为1/k，表明其为非简单二维系统堆叠的拓扑相，尤其当K-矩阵非单向时更为显著。